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Topos Uranos
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Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione

Riepilogo

Questa lezione dimostra le formule che esprimono il seno, il coseno e la tangente di una somma o di una differenza di angoli mediante i rapporti di ciascun angolo. La prima, quella del coseno della differenza, si ottiene calcolando in due modi la lunghezza di una corda della circonferenza goniometrica: con la formula della distanza in coordinate cartesiane e con quella della distanza in coordinate polari, che mostra che la corda dipende soltanto dalla differenza degli angoli. Da essa si deducono, con la parità e con le simmetrie degli angoli complementari, le altre formule di addizione e sottrazione, e da queste le formule di duplicazione, le formule di riduzione delle potenze, le formule di bisezione, con il segno fissato dal quadrante, e le formule dell’angolo triplo. Con esse si calcolano valori esatti, come quelli di π12\frac{\pi}{12} e π5\frac{\pi}{5}. Infine, la sostituzione t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} esprime il seno e il coseno come frazioni razionali in tt, fornisce una parametrizzazione razionale della circonferenza goniometrica e, con essa, la formula che genera tutte le terne pitagoriche.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dimostrare la formula del coseno della differenza mediante la lunghezza di una corda della circonferenza goniometrica, e dedurne quelle del seno e della tangente di una somma o di una differenza, con le loro condizioni di validità.
  2. Dedurre le formule di duplicazione, di riduzione delle potenze, di bisezione e dell’angolo triplo, e scegliere il segno di una radice quadrata secondo il quadrante dell’angolo.
  3. Calcolare valori esatti dei rapporti trigonometrici di angoli non notevoli, come π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} e π5\frac{\pi}{5}, riconducendoli a equazioni polinomiali quando è necessario.
  4. Esprimere il seno e il coseno mediante la tangente dell’angolo metà, ottenere la parametrizzazione razionale della circonferenza goniometrica e generare con essa tutte le terne pitagoriche.

Il coseno della differenza

Le simmetrie dimostrate nella lezione sui rapporti trigonometrici e la circonferenza goniometrica, come cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta o sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, mettono in relazione i rapporti di un angolo con quelli di un altro che si ottiene sommandogli o sottraendogli un angolo quadrantale. Ora, queste uguaglianze sono casi particolari di un problema generale: calcolare i rapporti di α+β\alpha + \beta e di α−β\alpha - \beta a partire da quelli di α\alpha e di β\beta, quali che siano questi numeri. Conviene osservare fin dall’inizio che i rapporti non si distribuiscono sulla somma: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, mentre sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, che è maggiore di 11. La formula corretta mescola seni e coseni, e la chiave per ottenerla è una corda della circonferenza goniometrica.

Come nell’assioma del percorso per lunghezza d’arco della lezione sugli angoli e la loro misura, P(θ)P(\theta) indica il punto della circonferenza goniometrica che si raggiunge percorrendo a partire da (1,0)(1, 0) un arco di lunghezza ∣θ∣\abs{\theta}, in senso antiorario se θ>0\theta > 0 e in senso orario se θ<0\theta < 0; per la definizione della lezione citata, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

TeoremaCoseno della differenza

Per tutti i numeri reali α\alpha e β\beta vale cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

La distanza tra P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta) si calcola prima con le loro coordinate cartesiane e poi con le loro coordinate polari, che sono (1,α)(1, \alpha) e (1,β)(1, \beta); uguagliando i due risultati si ottiene la formula.

Dimostrazione

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Sia dd la distanza tra P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta). Per la formula della distanza della lezione del corso I sull’equazione della retta, il suo quadrato è la somma dei quadrati delle differenze delle coordinate.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Sviluppiamo i due quadrati e raggruppiamo il seno e il coseno di ciascun angolo; per l’identità pitagorica, ogni gruppo vale 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    Per il teorema della distanza in coordinate polari, della lezione sulle coordinate polari, applicato con r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, la stessa distanza dipende soltanto dalla differenza degli angoli. Geometricamente, la rotazione di angolo −β-\beta attorno all’origine porta P(β)P(\beta) in (1,0)(1, 0) e P(α)P(\alpha) in P(α−β)P(\alpha - \beta), e conserva le distanze: le due corde della figura sono uguali.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Uguagliamo le due espressioni di d2d^2, sottraiamo 22 e dividiamo per −2-2.

La dimostrazione non richiede alcuna condizione su α\alpha e β\beta: il teorema della distanza in coordinate polari vale per angoli qualsiasi, e se P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) entrambe le espressioni di d2d^2 sono nulle. Non c’è nemmeno un circolo vizioso: quel teorema è stato dimostrato con il teorema del coseno, che a sua volta è stato ottenuto collocando il triangolo in un sistema di coordinate, senza usare formule di addizione degli angoli. Il cammino si può percorrere anche al contrario: se i lati bb e cc di un triangolo escono dall’origine con inclinazioni β\beta e α\alpha, il quadrato della distanza tra i loro estremi è b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), e chi dispone della formula del coseno della differenza ne ricava il teorema del coseno della lezione sulla risoluzione dei triangoli.