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Formule di prostaferesi e la forma armonica

Riepilogo

Questa lezione deduce dalle formule del seno e del coseno della somma e della differenza quelle che trasformano prodotti di seni e coseni in somme e, viceversa, somme in prodotti, e interpreta queste ultime sulla circonferenza goniometrica mediante il punto medio di una corda. Dimostra che ogni espressione asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x si scrive nella forma armonica Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), con R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} e un angolo φ\varphi unico in [0,2π)\ico{0}{2\pi}, ne ricava l’insieme immagine per due vie, una delle quali è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, e conclude che la sovrapposizione di due oscillazioni della stessa frequenza è un’altra oscillazione. Spiega i battimenti come il prodotto di un’oscillazione lenta per una rapida e, moltiplicando per un fattore che rende telescopica la somma, calcola in forma chiusa le somme di seni e di coseni di angoli in progressione aritmetica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dedurre le formule di Werner e le formule di prostaferesi dalle formule di addizione e sottrazione, e interpretare queste ultime sulla circonferenza goniometrica.
  2. Scrivere ogni espressione asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x in forma armonica, dimostrare l’esistenza e l’unicità della sua ampiezza e del suo angolo, e usarla per trovare insiemi immagine, massimi e minimi.
  3. Riconoscere la sovrapposizione di due oscillazioni della stessa frequenza come un’oscillazione, e descrivere i battimenti mediante il loro inviluppo.
  4. Calcolare somme di seni e di coseni in progressione aritmetica mediante somme telescopiche, e applicare queste trasformazioni alla semplificazione di espressioni e alla dimostrazione di identità.

Dai prodotti alle somme

Nella lezione sulle formule di addizione e sottrazione si sono dimostrate, per tutti i reali α\alpha e β\beta, le quattro uguaglianze seguenti:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Le due formule di ciascuna coppia contengono gli stessi due prodotti e differiscono solo nel segno del secondo. Se è così, sommandole o sottraendole uno dei prodotti si cancella e l’altro raddoppia: ogni prodotto di un seno o di un coseno per un altro si esprime come una semisomma o una semidifferenza di seni o di coseni. Queste formule, dette di prostaferesi (dal greco, «addizione e sottrazione»), servirono agli astronomi della fine del XVI secolo, fra i quali Tycho Brahe, per ridurre la moltiplicazione di numeri di molte cifre a somme e sottrazioni, consultando tavole dei seni, prima che John Napier pubblicasse nel 1614 le sue tavole dei logaritmi.

TeoremaFormule di Werner

Per tutti i reali α\alpha e β\beta, il prodotto sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta è la semisomma di sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) e sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta); il prodotto cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta è la semidifferenza di quegli stessi seni; il prodotto cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta è la semisomma di cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) e cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), e il prodotto sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta è la loro semidifferenza.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Ogni formula risulta dal sommare o sottrarre le due formule di una coppia. La figura le illustra con α=2x\alpha = 2x e β=x\beta = x: il prodotto, con linea spessa, coincide con la semisomma o la semidifferenza delle due oscillazioni di frequenze 33 e 11, con linea sottile.

Dimostrazione

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Sommiamo le formule del seno della somma e del seno della differenza: i termini cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta si cancellano. Dividendo per 22 si ottiene la prima formula.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Se invece di sommarle le sottraiamo, si cancellano i termini sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Con le formule del coseno si procede allo stesso modo. Sommandole si cancellano i prodotti di seni.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Sottraendo quella del coseno della somma da quella del coseno della differenza si cancellano i prodotti di coseni.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Con β=α\beta = \alpha, e poiché sin⁡0=0\sin 0 = 0 e cos⁡0=1\cos 0 = 1, si ritrovano la formula di duplicazione del seno e le formule di riduzione delle potenze della lezione sulle formule di addizione e sottrazione. Nella figura, sin⁡2x\sin^2 x oscilla con periodo π\pi attorno a 12\frac{1}{2}.

Le formule permettono di calcolare prodotti che non si riducono a valori notevoli fattore per fattore. Per esempio, con α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} e β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, la somma degli angoli è π2\frac{\pi}{2} e la loro differenza è π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Ora, l’interesse principale di queste formule è un altro: un prodotto di due oscillazioni, difficile da immaginare, è la sovrapposizione di due oscillazioni le cui frequenze sono la somma e la differenza delle frequenze dei fattori. Così, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).