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Topos Uranos
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Transformaciones de sumas en productos y la forma armónica

Resumen

Esta clase deduce de las fórmulas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia las que convierten productos de senos y cosenos en sumas y, recíprocamente, sumas en productos, e interpreta estas últimas en la circunferencia unitaria mediante el punto medio de una cuerda. Demuestra que toda expresión asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x se escribe en la forma armónica Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), con R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} y un ángulo φ\varphi único en [0,2π)\ico{0}{2\pi}, obtiene de ahí su recorrido por dos caminos, uno de los cuales es la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y concluye que la superposición de dos oscilaciones de la misma frecuencia es otra oscilación. Explica las pulsaciones como el producto de una oscilación lenta por una rápida y, multiplicando por un factor que vuelve telescópica la suma, calcula en forma cerrada las sumas de senos y de cosenos de ángulos en progresión aritmética.

Objetivos de aprendizaje

  1. Deducir las fórmulas de producto a suma y de suma a producto a partir de las fórmulas de la suma y de la diferencia, e interpretar estas últimas en la circunferencia unitaria.
  2. Escribir toda expresión asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x en la forma armónica, demostrar la existencia y la unicidad de su amplitud y de su ángulo, y emplearla para hallar recorridos, máximos y mínimos.
  3. Reconocer la superposición de dos oscilaciones de la misma frecuencia como una oscilación, y describir las pulsaciones mediante su envolvente.
  4. Calcular sumas de senos y de cosenos en progresión aritmética mediante sumas telescópicas, y aplicar estas transformaciones a la simplificación de expresiones y a la demostración de identidades.

De los productos a las sumas

En la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia se demostraron, para todos los reales α\alpha y β\beta, las cuatro igualdades siguientes:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Las dos fórmulas de cada pareja contienen los mismos dos productos, y difieren solo en el signo del segundo. Si esto es así, al sumarlas o restarlas uno de los productos se cancela y el otro queda duplicado: cada producto de un seno o un coseno por otro se expresa como una semisuma o una semidiferencia de senos o de cosenos. Estas fórmulas, llamadas de prostaféresis (del griego, «adición y sustracción»), sirvieron a los astrónomos de fines del siglo XVI, entre ellos Tycho Brahe, para reducir la multiplicación de números de muchas cifras a sumas y restas, consultando tablas de senos, antes de que John Napier publicara en 1614 sus tablas de logaritmos.

TeoremaDe producto a suma

Para todos los reales α\alpha y β\beta, el producto sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta es la semisuma de sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) y sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta); el producto cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta es la semidiferencia de esos mismos senos; el producto cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta es la semisuma de cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) y cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), y el producto sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta es su semidiferencia.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Cada fórmula resulta de sumar o restar las dos fórmulas de una pareja. La figura las ilustra con α=2x\alpha = 2x y β=x\beta = x: el producto, en trazo grueso, coincide con la semisuma o la semidiferencia de las dos oscilaciones de frecuencias 33 y 11, en trazo fino.

Demostración

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Sumamos las fórmulas del seno de la suma y del seno de la diferencia: los términos cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta se cancelan. Dividiendo entre 22 se obtiene la primera fórmula.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Si en lugar de sumarlas las restamos, se cancelan los términos sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Con las fórmulas del coseno se procede igual. Al sumarlas se cancelan los productos de senos.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Al restar la del coseno de la suma de la del coseno de la diferencia se cancelan los productos de cosenos.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Con β=α\beta = \alpha, y como sin⁡0=0\sin 0 = 0 y cos⁡0=1\cos 0 = 1, se recuperan la fórmula del ángulo doble del seno y las de reducción de potencias de la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia. En la figura, sin⁡2x\sin^2 x oscila con período π\pi en torno de 12\frac{1}{2}.

Las fórmulas permiten calcular productos que no se reducen a valores notables factor por factor. Por ejemplo, con α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} y β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, la suma de los ángulos es π2\frac{\pi}{2} y su diferencia es π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Ahora bien, el interés principal de estas fórmulas es otro: un producto de dos oscilaciones, que es difícil de imaginar, es la superposición de dos oscilaciones cuyas frecuencias son la suma y la diferencia de las frecuencias de los factores. Así, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).