Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas

Demostración

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Sea $\alpha = \arcsin c$, que está en $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ y cumple $\sin \alpha = c$. Como el seno es estrictamente creciente en ese intervalo, no toma allí dos veces el mismo valor: $\alpha$ es la única solución en la primera parte de la vuelta. En la circunferencia unitaria, $P(\alpha)$ es el punto de la mitad derecha que está a la altura $c$.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Si $x$ está en $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, el ángulo $\pi - x$ está en $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ y tiene el mismo seno que $x$. Por el paso anterior, $x$ es solución exactamente cuando $\pi - x = \alpha$: la recta horizontal de altura $c$ corta la mitad izquierda en el punto simétrico $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Sea ahora $x$ un real cualquiera. Por el lema, con $p = 2\pi$ y $a = -\frac{\pi}{2}$, se escribe $x = x_0 + 2k\pi$ con $x_0$ en la vuelta estudiada, y por la periodicidad $\sin x = \sin x_0$. Por tanto, $x$ es solución si y solo si $x_0$ es $\alpha$ o $\pi - \alpha$.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Recíprocamente, todo número de esas dos familias es solución, también por la periodicidad. En el gráfico del seno, la recta $y = c$ corta la curva en dos puntos por cada período. Si $c = 1$ o $c = -1$, las dos familias coinciden, porque $\pi - \alpha$ difiere de $\alpha$ en un múltiplo de $2\pi$, y hay un único punto de corte por período.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Para el coseno se usa la simetría de los ángulos complementarios, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, y el teorema de los ángulos complementarios de la clase sobre las funciones inversas, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. Aplicando el paso anterior al ángulo $\frac{\pi}{2} - x$ se obtienen dos familias.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   Despejando $x$, las familias son $\arccos c - 2k\pi$ y $-\arccos c - 2k\pi$; como $-k$ recorre los enteros cuando $k$ los recorre, son las del enunciado. En la circunferencia, los puntos $P(\beta)$ y $P(-\beta)$, con $\beta = \arccos c$, son los dos cortes de la recta vertical de abscisa $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Para la tangente, de período $\pi$, se aplica el lema con $p = \pi$ y $a = -\frac{\pi}{2}$: si $x = x_0 + k\pi$ con $x_0$ en $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, donde la tangente es una biyección sobre $\mathbb{R}$, la única solución es $x_0 = \arctan c$; el punto $-\frac{\pi}{2}$ no cuenta, porque allí la tangente no está definida. Si $\abs{c} > 1$, ni el seno ni el coseno alcanzan el valor $c$, porque sus valores están en $\icc{-1}{1}$.

Demostración

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Sea $x_1$ un número real. Por el lema, con $p = 2\pi$, existe un único entero $k$ tal que $x_1 - 2k\pi$ está en $\ico{a}{a + 2\pi}$: la familia de los números $x_1 + 2j\pi$, con $j$ entero, tiene exactamente un miembro en la vuelta.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sea $\alpha = \arcsin c$, en $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Si las dos familias del seno tienen un miembro común, son la misma familia, y eso ocurre exactamente cuando $\alpha$ es $\frac{\pi}{2}$ o $-\frac{\pi}{2}$, es decir, cuando $c = \pm 1$. Por tanto, si $\abs{c} < 1$ las dos familias aportan dos soluciones distintas a la vuelta, y si $\abs{c} = 1$, una sola.

3. 3
   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sea $\beta = \arccos c$, en $\icc{0}{\pi}$. Las dos familias del coseno tienen un miembro común exactamente cuando $\beta$ es un múltiplo entero de $\pi$, es decir, cuando $\beta$ es $0$ o $\pi$, lo que equivale a $c = \pm 1$; el recuento es el mismo que para el seno.

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Para la tangente hay una sola familia, de paso $\pi$, y el lema, con $p = \pi$, le da exactamente un miembro en $\ico{a}{a + \pi}$. Ese miembro es solución, porque $\arctan c + k\pi$ nunca es de la forma $\frac{\pi}{2} + j\pi$, en que la tangente no está definida: $\arctan c$ está en $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.