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El ángulo entre dos rectas y aplicaciones de la trigonometría

Resumen

Esta clase mide con la trigonometría el ángulo que forman dos rectas del plano. Define la inclinación de una recta y demuestra que su tangente es la pendiente; con la fórmula de la tangente de una diferencia obtiene la tangente del ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes, que contiene como caso particular la condición de perpendicularidad, y con el producto punto da una segunda expresión, válida también para las rectas verticales, cuya coherencia con la primera es la identidad de Lagrange. Caracteriza después las bisectrices de dos rectas como el lugar de los puntos que equidistan de ambas, demuestra que son perpendiculares y obtiene con ellas el incentro y la circunferencia inscrita de un triángulo. La última parte reúne aplicaciones: la altura de un punto inaccesible mediante el teorema del seno, el movimiento armónico simple como sombra de un movimiento circular uniforme, el alcance de un proyectil, que es máximo a 45∘45^\circ y el mismo para ángulos complementarios, y la ley de la reflexión como propiedad del camino más corto.

Objetivos de aprendizaje

  1. Calcular la inclinación de una recta y el ángulo entre dos rectas, a partir de sus pendientes o de sus vectores directores, y reconocer el paralelismo y la perpendicularidad como casos extremos.
  2. Obtener las ecuaciones de las bisectrices de dos rectas como lugar de puntos equidistantes, elegir la bisectriz interior de un triángulo y calcular su incentro y su circunferencia inscrita.
  3. Resolver problemas de alturas y distancias con ángulos de elevación y de depresión, combinando el teorema del seno con las fórmulas de la suma y de la diferencia.
  4. Describir el movimiento armónico simple, el alcance de un proyectil y la reflexión de la luz con funciones trigonométricas, y deducir sus propiedades de las identidades de esta unidad.

La inclinación de una recta

En la clase del curso I sobre la ecuación de la recta, la dirección de una recta no vertical se midió con un número, su pendiente, y se demostró que dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es −1-1. Esa condición reconoce un ángulo particular, el recto, sin medir ningún ángulo. En la clase sobre las razones trigonométricas se vio, además, que la tangente de un ángulo es la pendiente de la recta que contiene a su lado terminal. Si esto es así, la pendiente es la tangente de un ángulo, y los ángulos entre rectas deben poder calcularse con la trigonometría.

La inclinación de una recta es el ángulo α\alpha, con 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, que forma el semieje positivo de abscisas con la recta, medido en sentido antihorario desde el eje hasta la recta. Las rectas horizontales tienen inclinación 00, y las verticales, inclinación π2\frac{\pi}{2}.

Con más precisión, la paralela a la recta trazada por el origen contiene el lado terminal de algún ángulo α\alpha, y también el de α+π\alpha + \pi, porque los puntos P(α)P(\alpha) y P(α+π)P(\alpha + \pi) de la circunferencia unitaria son opuestos; exactamente uno de los ángulos de la forma α+kπ\alpha + k\pi está en [0,π)\ico{0}{\pi}, y ese es la inclinación. Dos rectas son paralelas o coinciden si y solo si tienen la misma inclinación, porque entonces, y solo entonces, tienen la misma paralela por el origen.

LemaInclinación y pendiente

Una recta de inclinación α\alpha es vertical si y solo si α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; si no es vertical, su pendiente es la tangente de su inclinación. Recíprocamente, la inclinación de una recta de pendiente mm es arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, y π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Todo se lee en la paralela a la recta trazada por el origen, que contiene al punto P(α)P(\alpha) de la circunferencia unitaria. La figura usa las rectas y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 e y=−xy = -x.

Demostración

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Sea rr una recta de inclinación α\alpha, y sea r0r_0 su paralela por el origen. Por la definición de la inclinación, r0r_0 contiene al lado terminal de α\alpha, y en particular al punto P(α)P(\alpha); si rr no es vertical, r0r_0 tiene su misma pendiente, porque dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, según la clase del curso I sobre la ecuación de la recta. En la figura, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    La recta r0r_0 es vertical si y solo si sus dos puntos tienen la misma abscisa, es decir, si cos⁡α=0\cos \alpha = 0. En [0,π)\ico{0}{\pi}, el único cero del coseno es π2\frac{\pi}{2}; y rr es vertical exactamente cuando lo es su paralela.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Si rr no es vertical, su pendiente es la de r0r_0, que es el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la de las abscisas de sus dos puntos.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Recíprocamente, sea mm la pendiente de rr. Por el paso anterior, la inclinación α\alpha es un ángulo de [0,π)\ico{0}{\pi} cuya tangente es mm. Según la clase sobre las ecuaciones trigonométricas, los ángulos de tangente mm son los números arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, y exactamente uno de ellos está en [0,π)\ico{0}{\pi}: como arctan⁡m\arctan m está en (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, ese ángulo es arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, y π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0. En la figura, la recta y=−xy = -x tiene inclinación π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Por ejemplo, la recta y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 tiene inclinación arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, y la recta y=−xy = -x, inclinación π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. El signo de la pendiente distingue así las rectas que suben, de inclinación aguda, de las que bajan, de inclinación obtusa.