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Topos Uranos
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Rotación de ejes y la ecuación general de segundo grado

Resumen

Esta clase completa el estudio de las cónicas con el caso que quedó pendiente: la ecuación de segundo grado que contiene un término en xyxy. Deduce, mediante las coordenadas polares y las fórmulas de la diferencia, cómo cambian las coordenadas de un punto cuando los ejes giran un ángulo θ\theta, y demuestra que el giro conserva las distancias, de modo que no altera la forma de ninguna figura. Calcula los coeficientes de la ecuación general después del giro, demuestra que el ángulo que cumple cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} elimina el término en xyxy y que la suma A+CA + C y el discriminante B2−4ACB^2 - 4AC no cambian con el giro. De ello se sigue la clasificación de todas las ecuaciones de segundo grado por el signo del discriminante: elipses, parábolas e hipérbolas, con sus casos degenerados. Termina reconociendo como cónicas giradas la hipérbola xy=1xy = 1, una elipse y una parábola cuyos ejes son oblicuos.

Objetivos de aprendizaje

  1. Deducir las fórmulas que relacionan las coordenadas de un punto en dos sistemas cartesianos que difieren en un giro, y demostrar que el giro conserva las distancias.
  2. Calcular los coeficientes de una ecuación de segundo grado después de un giro y elegir el ángulo que elimina el término en xyxy.
  3. Demostrar que A+CA + C y B2−4ACB^2 - 4AC son invariantes por rotación y usarlos para obtener la forma reducida sin sustituir.
  4. Clasificar una ecuación general de segundo grado por el signo de su discriminante, hallar sus elementos en las coordenadas giradas y expresarlos en las coordenadas originales.

La rotación de los ejes

En la clase del curso I sobre las secciones cónicas se demostró que toda ecuación de segundo grado sin término en xyxy representa una parábola, una elipse, una hipérbola o uno de sus casos degenerados, cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados. Ahora bien, una elipse cuyo eje mayor está sobre la recta y=xy = x también tiene una ecuación de segundo grado, y en ella aparece un término en xyxy. Para reconocerla conviene elegir otro sistema de ejes, girado respecto del primero, en el cual la curva recupere su forma canónica. Esta sección estudia cómo cambian las coordenadas de un punto al girar los ejes.

Sea un sistema cartesiano de ejes xx e yy, como los de la clase del curso I sobre la ecuación de la recta y los sistemas cartesianos, y sea θ\theta un número real. El sistema girado en el ángulo θ\theta es el sistema cartesiano que tiene el mismo origen y la misma unidad de longitud, cuyo semieje positivo de abscisas es la semirrecta que parte del origen con ángulo θ\theta en posición normal, y cuyo semieje positivo de ordenadas es la semirrecta de ángulo θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. Las nuevas coordenadas se escriben con mayúsculas: un mismo punto PP tiene coordenadas (x,y)(x, y) en el sistema original y (X,Y)(X, Y) en el girado. Como los dos sistemas tienen la misma orientación, en el girado se definen también coordenadas polares, con el mismo polo y con el semieje positivo de XX como eje polar.

TeoremaLas fórmulas de la rotación

Si un punto tiene coordenadas (x,y)(x, y) en un sistema cartesiano y coordenadas (X,Y)(X, Y) en el sistema girado en el ángulo θ\theta, entonces sus coordenadas nuevas se obtienen de las originales, y las originales de las nuevas, mediante las fórmulas siguientes.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

La idea es que, en coordenadas polares, girar los ejes no cambia la distancia al polo y solo resta θ\theta al ángulo polar; las fórmulas de la suma y de la diferencia, que se demuestran en la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia, hacen el resto.

Demostración

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Si PP es el origen, sus coordenadas son nulas en ambos sistemas y las fórmulas se cumplen. Si no lo es, tomamos una representación polar (r,φ)(r, \varphi) con r>0r > 0 respecto del eje polar original, como en la clase sobre las coordenadas polares.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    En el sistema girado el polo es el mismo, de modo que la distancia de PP al polo sigue siendo rr. Sea ψ\psi un ángulo polar de PP en el sistema girado. En la circunferencia unitaria, el nuevo eje polar pasa por P(θ)P(\theta); recorrer desde allí un arco ψ\psi lleva, por la propiedad de encadenamiento del axioma del recorrido de la clase sobre los ángulos y su medida, a P(θ+ψ)P(\theta + \psi), que debe ser el punto P(φ)P(\varphi) de la semirrecta que va del polo a PP. Por el lema de los ángulos coterminales, θ+ψ\theta + \psi y φ\varphi difieren en un múltiplo de 2π2\pi, de modo que podemos tomar ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Desarrollamos el coseno de la diferencia y reconocemos en cada término las coordenadas originales.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Del mismo modo, con el seno de la diferencia.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Recíprocamente, el ángulo original es la suma φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta; las fórmulas de la suma dan las coordenadas originales en función de las nuevas.

Las dos parejas de fórmulas tienen la misma estructura: las segundas se obtienen de las primeras cambiando θ\theta por −θ-\theta, porque el sistema original es el que resulta de girar el nuevo en el ángulo −θ-\theta. Por ejemplo, con θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, el punto (1,1)(1, 1) tiene coordenadas nuevas X=2X = \sqrt{2} e Y=0Y = 0: está sobre el nuevo eje de abscisas, a distancia 2\sqrt{2} del origen. Conviene no confundir el giro de los ejes con el giro de los puntos: girar los ejes en el ángulo θ\theta deja quietos los puntos y cambia sus nombres, y el resultado es el mismo que dejar quietos los ejes y girar el plano entero en el ángulo −θ-\theta.

LemaLa rotación conserva las distancias

La distancia entre dos puntos, calculada con sus coordenadas en el sistema girado, coincide con la calculada con sus coordenadas originales.

El hecho ya se observó en la clase sobre las coordenadas polares: la distancia entre dos puntos depende de sus ángulos polares solo a través de su diferencia, y girar el plano consiste en sumar una constante a esos ángulos. Aquí se comprueba directamente en coordenadas cartesianas, con las fórmulas de la rotación y la identidad pitagórica de la clase sobre las razones trigonométricas.

Demostración

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Sean P1P_1 y P2P_2 dos puntos, de coordenadas (x1,y1)(x_1, y_1) y (x2,y2)(x_2, y_2) en el sistema original y (X1,Y1)(X_1, Y_1) y (X2,Y2)(X_2, Y_2) en el girado. Restamos las fórmulas de la rotación escritas para cada punto, con u=x1−x2u = x_1 - x_2 y v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Elevamos al cuadrado y sumamos. Los dobles productos, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta y −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, se cancelan.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Por la identidad pitagórica, cada paréntesis vale 11, y queda el cuadrado de la distancia original.

El lema tiene una consecuencia que justifica todo lo que sigue. La parábola, la elipse y la hipérbola se definieron en las clases anteriores por propiedades de distancias a focos y directrices; como el giro conserva las distancias, una curva que en el sistema girado es una elipse de semiejes aa y bb es, vista en el sistema original, una elipse con los mismos semiejes, aunque sus ejes de simetría sean oblicuos. Lo mismo vale para las otras cónicas, para sus focos, sus vértices y sus asíntotas, que se trasladan de un sistema al otro con las fórmulas de la rotación.