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Topos Uranos
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Transformation de sommes en produits et forme harmonique

Résumé

Cette leçon déduit des formules du sinus et du cosinus de la somme et de la différence celles qui transforment des produits de sinus et de cosinus en sommes et, réciproquement, des sommes en produits, et elle interprète ces dernières sur le cercle trigonométrique au moyen du milieu d’une corde. Elle démontre que toute expression asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x s’écrit sous la forme harmonique Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), avec R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} et un angle φ\varphi unique dans [0,2π)\ico{0}{2\pi}, en tire son ensemble image par deux voies, dont l’une est l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et conclut que la superposition de deux oscillations de même fréquence est encore une oscillation. Elle explique les battements comme le produit d’une oscillation lente par une oscillation rapide et, en multipliant par un facteur qui rend la somme télescopique, calcule sous forme close les sommes de sinus et de cosinus d’angles en progression arithmétique.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déduire les formules de transformation de produit en somme et de somme en produit à partir des formules d’addition, et interpréter ces dernières sur le cercle trigonométrique.
  2. Écrire toute expression asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x sous forme harmonique, démontrer l’existence et l’unicité de son amplitude et de son angle, et l’employer pour trouver des ensembles images, des maximums et des minimums.
  3. Reconnaître la superposition de deux oscillations de même fréquence comme une oscillation, et décrire les battements au moyen de leur enveloppe.
  4. Calculer des sommes de sinus et de cosinus en progression arithmétique au moyen de sommes télescopiques, et appliquer ces transformations à la simplification d’expressions et à la démonstration d’identités.

Des produits aux sommes

Dans la leçon sur les formules d’addition, on a démontré, pour tous les réels α\alpha et β\beta, les quatre égalités ci-dessous :

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Les deux formules de chaque couple contiennent les deux mêmes produits et ne diffèrent que par le signe du second. S’il en est ainsi, quand on les additionne ou qu’on les soustrait, l’un des produits s’élimine et l’autre est doublé : chaque produit d’un sinus ou d’un cosinus par un autre s’exprime comme une demi-somme ou une demi-différence de sinus ou de cosinus. Ces formules, dites de prosthaphérèse (du grec, « addition et soustraction »), servirent aux astronomes de la fin du XVIe siècle, parmi lesquels Tycho Brahe, à ramener la multiplication de nombres de nombreux chiffres à des additions et des soustractions, en consultant des tables de sinus, avant que John Napier ne publie en 1614 ses tables de logarithmes.

ThéorèmeTransformation de produit en somme

Pour tous les réels α\alpha et β\beta, le produit sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta est la demi-somme de sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) et sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta) ; le produit cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta est la demi-différence de ces mêmes sinus ; le produit cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta est la demi-somme de cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) et cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), et le produit sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta est leur demi-différence.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Chaque formule résulte de l’addition ou de la soustraction des deux formules d’un couple. La figure les illustre avec α=2x\alpha = 2x et β=x\beta = x : le produit, en trait épais, coïncide avec la demi-somme ou la demi-différence des deux oscillations de fréquences 33 et 11, en trait fin.

Démonstration

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    On additionne les formules du sinus de la somme et du sinus de la différence : les termes cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta s’éliminent. En divisant par 22, on obtient la première formule.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Si, au lieu de les additionner, on les soustrait, ce sont les termes sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta qui s’éliminent.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Avec les formules du cosinus, on procède de même. En les additionnant, les produits de sinus s’éliminent.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    En soustrayant celle du cosinus de la somme de celle du cosinus de la différence, les produits de cosinus s’éliminent.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Avec β=α\beta = \alpha, et comme sin⁡0=0\sin 0 = 0 et cos⁡0=1\cos 0 = 1, on retrouve la formule de l’angle double du sinus et les formules de linéarisation de la leçon sur les formules d’addition. Sur la figure, sin⁡2x\sin^2 x oscille avec la période π\pi autour de 12\frac{1}{2}.

Les formules permettent de calculer des produits qui ne se ramènent pas à des valeurs remarquables facteur par facteur. Par exemple, avec α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} et β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, la somme des angles est π2\frac{\pi}{2} et leur différence est π3\frac{\pi}{3} :

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Or l’intérêt principal de ces formules est ailleurs : un produit de deux oscillations, difficile à se représenter, est la superposition de deux oscillations dont les fréquences sont la somme et la différence des fréquences des facteurs. Ainsi, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).