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Topos Uranos
Deutsch

Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet aus den Formeln für den Sinus und den Kosinus der Summe und der Differenz diejenigen her, die Produkte von Sinus- und Kosinuswerten in Summen und umgekehrt Summen in Produkte umwandeln, und deutet die letzteren am Einheitskreis mithilfe des Mittelpunkts einer Sehne. Sie beweist, dass sich jeder Ausdruck asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x in der harmonischen Form Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) schreiben lässt, mit R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} und einem eindeutigen Winkel φ\varphi in [0,2π)\ico{0}{2\pi}, gewinnt daraus seine Wertemenge auf zwei Wegen, von denen einer die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, und folgert, dass die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz wieder eine Schwingung ist. Sie erklärt die Schwebung als Produkt einer langsamen und einer schnellen Schwingung und berechnet, indem sie mit einem Faktor multipliziert, der die Summe zu einer Teleskopsumme macht, in geschlossener Form die Summen der Sinus- und der Kosinuswerte von Winkeln, die eine arithmetische Folge bilden.

Lernziele

  1. Die Formeln zur Umformung von Produkten in Summen und von Summen in Produkte aus den Additionstheoremen herleiten und die letzteren am Einheitskreis deuten.
  2. Jeden Ausdruck asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x in die harmonische Form bringen, die Existenz und die Eindeutigkeit seiner Amplitude und seines Winkels beweisen und sie zur Bestimmung von Wertemengen, Maxima und Minima verwenden.
  3. Die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz als Schwingung erkennen und die Schwebung mithilfe ihrer Einhüllenden beschreiben.
  4. Summen von Sinus- und Kosinuswerten zu einer arithmetischen Folge von Winkeln mithilfe von Teleskopsummen berechnen und diese Umformungen auf das Vereinfachen von Ausdrücken und das Beweisen von Identitäten anwenden.

Von den Produkten zu den Summen

In der Lektion über die Additionstheoreme wurden für alle reellen Zahlen α\alpha und β\beta die folgenden vier Gleichheiten bewiesen:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Die beiden Formeln jedes Paares enthalten dieselben zwei Produkte und unterscheiden sich nur im Vorzeichen des zweiten. Ist dem so, dann hebt sich beim Addieren oder Subtrahieren eines der Produkte weg, und das andere verdoppelt sich: Jedes Produkt eines Sinus oder Kosinus mit einem anderen lässt sich als halbe Summe oder halbe Differenz von Sinus- oder Kosinuswerten ausdrücken. Diese Formeln, prosthaphäretische Formeln genannt (aus dem Griechischen, „Addition und Subtraktion“), dienten den Astronomen des ausgehenden 16. Jahrhunderts, unter ihnen Tycho Brahe, dazu, die Multiplikation vielstelliger Zahlen mithilfe von Sinustafeln auf Additionen und Subtraktionen zu reduzieren, bevor John Napier 1614 seine Logarithmentafeln veröffentlichte.

SatzUmformung von Produkten in Summen

Für alle reellen Zahlen α\alpha und β\beta ist das Produkt sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta die halbe Summe von sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) und sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta); das Produkt cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta ist die halbe Differenz derselben Sinuswerte; das Produkt cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta ist die halbe Summe von cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) und cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), und das Produkt sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta ist ihre halbe Differenz.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Jede Formel ergibt sich durch Addieren oder Subtrahieren der beiden Formeln eines Paares. Die Abbildung veranschaulicht sie mit α=2x\alpha = 2x und β=x\beta = x: Das Produkt, dick gezeichnet, stimmt mit der halben Summe oder der halben Differenz der beiden Schwingungen mit den Frequenzen 33 und 11 überein, die dünn gezeichnet sind.

Beweis

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Wir addieren die Formeln für den Sinus der Summe und den Sinus der Differenz: Die Terme cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta heben sich weg. Division durch 22 liefert die erste Formel.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Subtrahieren wir sie, statt sie zu addieren, so heben sich die Terme sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta weg.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Mit den Kosinusformeln verfährt man ebenso. Beim Addieren heben sich die Produkte von Sinuswerten weg.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Subtrahiert man die Formel für den Kosinus der Summe von der für den Kosinus der Differenz, so heben sich die Produkte von Kosinuswerten weg.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Mit β=α\beta = \alpha und wegen sin⁡0=0\sin 0 = 0 und cos⁡0=1\cos 0 = 1 gewinnt man die Doppelwinkelformel des Sinus und die Formeln der Potenzreduktion aus der Lektion über die Additionstheoreme wieder. In der Abbildung schwingt sin⁡2x\sin^2 x mit der Periode π\pi um 12\frac{1}{2}.

Mit den Formeln lassen sich Produkte berechnen, die sich nicht Faktor für Faktor auf besondere Werte reduzieren lassen. Mit α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} und β=π12\beta = \frac{\pi}{12} zum Beispiel ist die Summe der Winkel π2\frac{\pi}{2} und ihre Differenz π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Der Hauptnutzen dieser Formeln liegt jedoch woanders: Ein Produkt zweier Schwingungen, das man sich schwer vorstellen kann, ist die Überlagerung zweier Schwingungen, deren Frequenzen die Summe und die Differenz der Frequenzen der Faktoren sind. So gilt sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).