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Topos Uranos
Deutsch

Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist die Formeln, die Sinus, Kosinus und Tangens einer Summe oder einer Differenz von Winkeln durch die trigonometrischen Verhältnisse jedes einzelnen Winkels ausdrücken. Die erste, die für den Kosinus einer Differenz, erhält man, indem man die Länge einer Sehne des Einheitskreises auf zwei Arten berechnet: mit der Abstandsformel in kartesischen Koordinaten und mit der Abstandsformel in Polarkoordinaten, die zeigt, dass die Sehne nur von der Differenz der Winkel abhängt. Aus ihr folgen mit der Parität und mit den Symmetrien der Komplementwinkel die übrigen Additionstheoreme, und aus diesen die Doppelwinkelformeln, die Formeln zur Potenzreduktion, die Halbwinkelformeln, mit dem durch den Quadranten festgelegten Vorzeichen, und die Formeln für den dreifachen Winkel. Mit ihnen berechnet man exakte Werte, etwa die von π12\frac{\pi}{12} und π5\frac{\pi}{5}. Schließlich drückt die Substitution t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} Sinus und Kosinus als rationale Brüche in tt aus, liefert eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises und mit ihr die Formel, die alle pythagoreischen Tripel erzeugt.

Lernziele

  1. Die Formel für den Kosinus einer Differenz mithilfe der Länge einer Sehne des Einheitskreises beweisen und aus ihr die für Sinus und Tangens einer Summe oder Differenz herleiten, mit ihren Gültigkeitsbedingungen.
  2. Die Doppelwinkelformeln, die Formeln zur Potenzreduktion, die Halbwinkelformeln und die Formeln für den dreifachen Winkel herleiten und das Vorzeichen einer Quadratwurzel nach dem Quadranten des Winkels wählen.
  3. Exakte Werte der trigonometrischen Verhältnisse von Winkeln berechnen, die keine besonderen Winkel sind, etwa π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} und π5\frac{\pi}{5}, und sie, wo nötig, auf Polynomgleichungen reduzieren.
  4. Sinus und Kosinus durch den Tangens des halben Winkels ausdrücken, die rationale Parametrisierung des Einheitskreises gewinnen und mit ihr alle pythagoreischen Tripel erzeugen.

Der Kosinus einer Differenz

Die in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse und den Einheitskreis bewiesenen Symmetrien, etwa cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta oder sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, verknüpfen die Verhältnisse eines Winkels mit denen eines anderen, den man erhält, indem man einen Achsenwinkel addiert oder subtrahiert. Nun sind diese Gleichheiten Sonderfälle eines allgemeinen Problems: die Verhältnisse von α+β\alpha + \beta und von α−β\alpha - \beta aus denen von α\alpha und von β\beta zu berechnen, welche Zahlen dies auch seien. Von Anfang an ist festzuhalten, dass sich die Verhältnisse nicht über die Summe verteilen: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, während sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, was größer als 11 ist. Die richtige Formel mischt Sinus- und Kosinuswerte, und der Schlüssel zu ihr ist eine Sehne des Einheitskreises.

Wie im Axiom des Durchlaufens nach Bogenlänge aus der Lektion über Winkel und ihre Messung bezeichnet P(θ)P(\theta) den Punkt des Einheitskreises, den man erreicht, wenn man von (1,0)(1, 0) aus einen Bogen der Länge ∣θ∣\abs{\theta} durchläuft, gegen den Uhrzeigersinn, falls θ>0\theta > 0, und im Uhrzeigersinn, falls θ<0\theta < 0; nach der Definition der zitierten Lektion gilt P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

SatzKosinus einer Differenz

Für alle reellen Zahlen α\alpha und β\beta gilt cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

Der Abstand zwischen P(α)P(\alpha) und P(β)P(\beta) wird zuerst mit ihren kartesischen Koordinaten und dann mit ihren Polarkoordinaten berechnet, die (1,α)(1, \alpha) und (1,β)(1, \beta) sind; Gleichsetzen der beiden Ergebnisse liefert die Formel.

Beweis

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Sei dd der Abstand zwischen P(α)P(\alpha) und P(β)P(\beta). Nach der Abstandsformel aus der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung ist sein Quadrat die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Wir multiplizieren die beiden Quadrate aus und fassen Sinus und Kosinus jedes Winkels zusammen; nach dem trigonometrischen Pythagoras ist jede Gruppe gleich 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    Nach dem Satz über den Abstand in Polarkoordinaten aus der Lektion über Polarkoordinaten, angewandt mit r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, hängt derselbe Abstand nur von der Differenz der Winkel ab. Geometrisch bringt die Drehung um den Winkel −β-\beta um den Ursprung P(β)P(\beta) nach (1,0)(1, 0) und P(α)P(\alpha) nach P(α−β)P(\alpha - \beta), und sie erhält Abstände: Die beiden Sehnen in der Figur sind gleich lang.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Wir setzen die beiden Ausdrücke für d2d^2 gleich, subtrahieren 22 und dividieren durch −2-2.

Der Beweis verlangt keine Bedingung an α\alpha und β\beta: Der Satz über den Abstand in Polarkoordinaten gilt für beliebige Winkel, und falls P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta), sind beide Ausdrücke für d2d^2 null. Es liegt auch kein Zirkelschluss vor: Jener Satz wurde mit dem Kosinussatz bewiesen, der seinerseits gewonnen wurde, indem man das Dreieck in ein Koordinatensystem legte, ohne Additionstheoreme zu benutzen. Der Weg lässt sich auch umgekehrt gehen: Gehen die Seiten bb und cc eines Dreiecks mit den Steigungswinkeln β\beta und α\alpha vom Ursprung aus, so ist das Quadrat des Abstands ihrer Endpunkte b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), und wer über die Formel für den Kosinus einer Differenz verfügt, gewinnt daraus den Kosinussatz aus der Lektion über die Dreiecksberechnung.