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Topos Uranos
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덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식

요약

이 수업에서는 각의 합 또는 차의 사인, 코사인, 탄젠트를 각 각의 삼각비로 나타내는 공식을 증명한다. 첫째 공식인 차의 코사인 공식은 단위원의 한 현의 길이를 두 가지 방법으로 계산하여 얻는다. 하나는 직교좌표에서의 거리 공식이고, 다른 하나는 극좌표에서의 거리 공식인데, 후자는 현이 각의 차에만 의존함을 보여 준다. 여기에서 짝홀성과 여각의 대칭성을 이용하여 나머지 덧셈정리를 이끌어 내고, 다시 이것들로부터 배각 공식, 차수를 낮추는 공식, 사분면에 따라 부호가 정해지는 반각 공식, 삼배각 공식을 이끌어 낸다. 이 공식들로 π12\frac{\pi}{12}, π5\frac{\pi}{5}의 정확한 값 같은 것을 계산한다. 끝으로 치환 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}은 사인과 코사인을 tt의 유리식으로 나타내고, 단위원의 유리 매개변수 표시를 주며, 이를 통해 모든 피타고라스 수를 만들어 내는 공식을 준다.

학습 목표

  1. 단위원의 현의 길이로 차의 코사인 공식을 증명하고, 그로부터 합 또는 차의 사인과 탄젠트 공식을 성립 조건과 함께 이끌어 낸다.
  2. 배각, 차수를 낮추는 공식, 반각, 삼배각 공식을 이끌어 내고, 각이 속한 사분면에 따라 제곱근의 부호를 고른다.
  3. 특수각이 아닌 각, 예를 들어 π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12}, π5\frac{\pi}{5}의 삼각비의 정확한 값을, 필요하면 다항방정식으로 귀착시켜 계산한다.
  4. 사인과 코사인을 반각의 탄젠트로 나타내고, 단위원의 유리 매개변수 표시를 구하며, 이를 이용하여 모든 피타고라스 수를 만들어 낸다.

차의 코사인

삼각비와 단위원에 관한 수업에서 증명한 대칭성, 예를 들어 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta이나 sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta의 식은 한 각의 삼각비를, 그 각에 좌표축 위의 각을 더하거나 빼서 얻는 다른 각의 삼각비와 연결한다. 그런데 이 등식들은 일반적인 문제의 특수한 경우이다. 즉 α+β\alpha + \beta와 α−β\alpha - \beta의 삼각비를 α\alpha와 β\beta의 삼각비로부터 구하는 문제이며, 이 수들은 무엇이든 상관없다. 처음부터 주의할 점은 삼각비가 합에 대하여 분배되지 않는다는 것이다. sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1인 반면 sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}이고, 이 값은 11보다 크다. 올바른 공식은 사인과 코사인을 섞은 것이며, 그것을 얻는 열쇠는 단위원의 현이다.

각과 그 측정에 관한 수업의 호의 길이에 따른 이동의 공리에서처럼, P(θ)P(\theta)는 단위원 위의 점으로서, (1,0)(1, 0)에서 출발하여 길이 ∣θ∣\abs{\theta}인 호를 따라, θ>0\theta > 0이면 시계 반대 방향으로, θ<0\theta < 0이면 시계 방향으로 이동하여 도달하는 점을 나타낸다. 인용한 수업의 정의에 의해 P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)이다.

정리차의 코사인

모든 실수 α\alpha, β\beta에 대하여 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta이 성립한다.

P(α)P(\alpha)와 P(β)P(\beta) 사이의 거리를 먼저 두 점의 직교좌표로, 이어서 두 점의 극좌표, 곧 (1,α)(1, \alpha)와 (1,β)(1, \beta)로 계산하고, 두 결과를 같다고 놓아 공식을 얻는다.

증명

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    dd를 P(α)P(\alpha)와 P(β)P(\beta) 사이의 거리라 하자. 강좌 I의 직선의 방정식에 관한 수업의 거리 공식에 의해, 그 제곱은 좌표의 차의 제곱의 합이다.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    두 제곱을 전개하고 각 각의 사인과 코사인을 묶는다. 피타고라스 항등식에 의해 각 묶음은 11과 같다.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    극좌표에 관한 수업의 극좌표에서의 거리 정리를 r1=r2=1r_1 = r_2 = 1로 놓고 적용하면, 같은 거리는 각의 차에만 의존한다. 기하학적으로, 원점을 중심으로 하는 각 −β-\beta의 회전은 P(β)P(\beta)를 (1,0)(1, 0)으로, P(α)P(\alpha)를 P(α−β)P(\alpha - \beta)로 옮기며 거리를 보존한다. 그림의 두 현은 같다.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    d2d^2의 두 식을 같다고 놓고, 22를 빼고 −2-2로 나눈다.

이 증명은 α\alpha와 β\beta에 아무 조건도 요구하지 않는다. 극좌표에서의 거리 정리는 임의의 각에 대하여 성립하고, P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta)이면 d2d^2의 두 식이 모두 영이 된다. 순환하는 논증도 아니다. 그 정리는 코사인법칙으로 증명되었고, 코사인법칙은 삼각형을 좌표계에 놓아 얻은 것이며, 각의 합의 공식은 쓰지 않았다. 이 길은 거꾸로 갈 수도 있다. 삼각형의 변 bb와 cc가 원점에서 경사각 β\beta와 α\alpha로 나올 때, 두 변의 끝점 사이의 거리의 제곱은 b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)이고, 차의 코사인 공식을 알고 있는 사람은 여기에서 삼각형의 풀이에 관한 수업의 코사인법칙을 얻는다.