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Topos Uranos
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Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade

Resumo

Esta aula demonstra as fórmulas que expressam o seno, o cosseno e a tangente de uma soma ou de uma diferença de ângulos mediante as razões de cada ângulo. A primeira, a do cosseno da diferença, obtém-se calculando de duas maneiras o comprimento de uma corda da circunferência unitária: com a fórmula da distância em coordenadas cartesianas e com a da distância em coordenadas polares, que mostra que a corda depende só da diferença dos ângulos. Dela se deduzem, com a paridade e com as simetrias dos ângulos complementares, as demais fórmulas de adição e subtração, e destas, as do ângulo duplo, as de redução de potências, as do ângulo metade, com o sinal fixado pelo quadrante, e as do ângulo triplo. Com elas se calculam valores exatos, como os de π12\frac{\pi}{12} e π5\frac{\pi}{5}. Por último, a substituição t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} expressa o seno e o cosseno como frações racionais em tt, dá uma parametrização racional da circunferência unitária e, com ela, a fórmula que gera todas as ternas pitagóricas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar a fórmula do cosseno da diferença mediante o comprimento de uma corda da circunferência unitária, e deduzir dela as do seno e da tangente de uma soma ou diferença, com suas condições de validade.
  2. Deduzir as fórmulas do ângulo duplo, de redução de potências, do ângulo metade e do ângulo triplo, e escolher o sinal de uma raiz quadrada segundo o quadrante do ângulo.
  3. Calcular valores exatos das razões trigonométricas de ângulos não notáveis, como π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} e π5\frac{\pi}{5}, reduzindo-os a equações polinomiais quando for necessário.
  4. Expressar o seno e o cosseno mediante a tangente do ângulo metade, obter a parametrização racional da circunferência unitária e gerar com ela todas as ternas pitagóricas.

O cosseno da diferença

As simetrias demonstradas na aula sobre as razões trigonométricas e a circunferência unitária, como cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta ou sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, relacionam as razões de um ângulo com as de outro que se obtém somando-lhe ou subtraindo-lhe um ângulo quadrantal. Ora, essas igualdades são casos particulares de um problema geral: calcular as razões de α+β\alpha + \beta e de α−β\alpha - \beta a partir das de α\alpha e de β\beta, quaisquer que sejam esses números. Convém advertir desde o início que as razões não se distribuem sobre a soma: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, enquanto sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, que é maior que 11. A fórmula correta mistura senos e cossenos, e a chave para obtê-la é uma corda da circunferência unitária.

Como no axioma do percurso por comprimento de arco da aula sobre os ângulos e sua medida, P(θ)P(\theta) designa o ponto da circunferência unitária que se alcança percorrendo a partir de (1,0)(1, 0) um arco de comprimento ∣θ∣\abs{\theta}, no sentido anti-horário se θ>0\theta > 0 e no horário se θ<0\theta < 0; pela definição da aula citada, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

TeoremaCosseno da diferença

Para todos os números reais α\alpha e β\beta vale cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

A distância entre P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta) calcula-se primeiro com suas coordenadas cartesianas e depois com suas coordenadas polares, que são (1,α)(1, \alpha) e (1,β)(1, \beta); ao igualar os dois resultados obtém-se a fórmula.

Demonstração

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Seja dd a distância entre P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta). Pela fórmula da distância da aula do curso I sobre a equação da reta, seu quadrado é a soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Desenvolvemos os dois quadrados e agrupamos o seno e o cosseno de cada ângulo; pela identidade pitagórica, cada grupo vale 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    Pelo teorema da distância em coordenadas polares, da aula sobre as coordenadas polares, aplicado com r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, a mesma distância depende só da diferença dos ângulos. Geometricamente, a rotação de ângulo −β-\beta em torno da origem leva P(β)P(\beta) em (1,0)(1, 0) e P(α)P(\alpha) em P(α−β)P(\alpha - \beta), e conserva as distâncias: as duas cordas da figura são iguais.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Igualamos as duas expressões de d2d^2, subtraímos 22 e dividimos por −2-2.

A demonstração não exige nenhuma condição sobre α\alpha e β\beta: o teorema da distância em coordenadas polares vale para ângulos quaisquer, e se P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) ambas as expressões de d2d^2 são nulas. Tampouco há círculo vicioso: esse teorema foi demonstrado com a lei dos cossenos, que por sua vez se obteve colocando o triângulo num sistema de coordenadas, sem usar fórmulas de adição de ângulos. O caminho pode ser percorrido também ao contrário: se os lados bb e cc de um triângulo saem da origem com inclinações β\beta e α\alpha, o quadrado da distância entre suas extremidades é b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), e quem dispõe da fórmula do cosseno da diferença obtém disso a lei dos cossenos da aula sobre a resolução de triângulos.