跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

两角和与差、二倍角与半角公式

摘要

本课证明用各个角的三角比表示两角之和或之差的正弦、余弦和正切的公式。其中第一个，即两角差的余弦公式，是通过用两种方法计算单位圆的一条弦的长度得到的：一种用直角坐标中的距离公式，另一种用极坐标中的距离公式，后者表明这条弦只依赖于两角之差。由它出发，借助奇偶性和余角的对称性，推出其余的两角和与差的公式；再由这些公式推出二倍角公式、降幂公式、半角公式（符号由象限确定）以及三倍角公式。利用它们可以计算精确值，例如 π12\frac{\pi}{12} 和 π5\frac{\pi}{5} 的三角比。最后，代换 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} 把正弦和余弦表示为 tt 的有理分式，给出单位圆的一个有理参数化，并由此给出生成全部勾股数的公式。

学习目标

  1. 用单位圆的一条弦的长度证明两角差的余弦公式，并由它推出两角和或差的正弦与正切公式及其成立的条件。
  2. 推出二倍角公式、降幂公式、半角公式和三倍角公式，并根据角所在的象限选取平方根的符号。
  3. 计算非特殊角的三角比的精确值，例如 π12\frac{\pi}{12}、5π12\frac{5\pi}{12} 和 π5\frac{\pi}{5}，必要时把问题化为多项式方程。
  4. 用半角的正切表示正弦和余弦，得到单位圆的有理参数化，并用它生成全部勾股数。

两角差的余弦

在关于三角比与单位圆的课里证明的对称性，例如 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta 或 sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta，把一个角的三角比与另一个角的三角比联系起来，后者是在前者上加上或减去一个象限界角得到的。但是，这些等式只是一个一般问题的特殊情形：求出 α+β\alpha + \beta 与 α−β\alpha - \beta 的三角比，所依据的是 α\alpha 与 β\beta 的三角比，不论这两个数是什么。应当一开始就指出，三角比对和不满足分配律：sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1，而 sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}，它大于 11。正确的公式把正弦和余弦混合在一起，而得到它的关键是单位圆的一条弦。

如同关于角及其度量的课里按弧长行进的公理那样，P(θ)P(\theta) 表示单位圆上这样的点：从 (1,0)(1, 0) 出发，走过长为 ∣θ∣\abs{\theta} 的弧所到达的点，若 θ>0\theta > 0 则沿逆时针方向，若 θ<0\theta < 0 则沿顺时针方向；由那节课的定义，P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)。

定理两角差的余弦

对任意实数 α\alpha 和 β\beta，cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta 成立。

先用 P(α)P(\alpha) 与 P(β)P(\beta) 的直角坐标、再用它们的极坐标（即 (1,α)(1, \alpha) 和 (1,β)(1, \beta)）计算它们之间的距离；令两个结果相等，便得到公式。

证明

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    设 dd 是 P(α)P(\alpha) 与 P(β)P(\beta) 之间的距离。由课程 I 中关于直线的方程的课里的距离公式，它的平方等于坐标之差的平方和。

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    展开两个平方，并把每个角的正弦与余弦归在一组；由平方关系，每一组都等于 11。

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    由关于极坐标的课里的极坐标中的距离定理（取 r1=r2=1r_1 = r_2 = 1），同一距离只依赖于两角之差。从几何上看，绕原点转过角 −β-\beta 的旋转把 P(β)P(\beta) 变到 (1,0)(1, 0)，把 P(α)P(\alpha) 变到 P(α−β)P(\alpha - \beta)，并且保持距离：图中的两条弦相等。

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    令 d2d^2 的两个表达式相等，减去 22，再除以 −2-2。

这个证明对 α\alpha 和 β\beta 不要求任何条件：极坐标中的距离定理对任意角都成立，而若 P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta)，则 d2d^2 的两个表达式都为零。这里也不是拿结论来证明结论：那个定理是用余弦定理证明的，而余弦定理又是把三角形放进坐标系中得到的，没有用到角的和的公式。这条路也可以反过来走：若三角形的边 bb 和 cc 从原点出发，倾斜角分别为 β\beta 和 α\alpha，则它们端点之间距离的平方是 b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)，掌握了两角差的余弦公式的人就由此得到关于解三角形的课里的余弦定理。