基本三角恒等式

证明

1. 1
   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

   倒数关系和商数关系就是正切、余切、正割和余割的定义：每个函数在其分母不为零处有定义，并且在这个定义域上，一个函数与它的倒数之积等于 $1$。图中，正弦和余弦是 $P(\theta)$ 的坐标。

2. 2
   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}$$

   点 $P(\theta)$ 到原点的距离为 $1$：这就是第一个平方关系，已在关于三角比的课中证明。在满足 $\cos \theta \neq 0$ 的地方，把它的两边除以 $\cos^2 \theta$；在满足 $\sin \theta \neq 0$ 的地方，除以 $\sin^2 \theta$；由前面得到的恒等式即得另外两个。

3. 3
   $$\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$ 关于 $x$ 轴的反射是 $P(-\theta)$：由对称性定理，余弦是偶函数，正弦是奇函数。特别地，$-\theta$ 属于每个函数的定义域，当且仅当 $\theta$ 属于它，因为正弦和余弦的零点是对称的。

4. 4
   $$\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta$$

   取倒数和商时，表达式中只含一次正弦的函数会出现负号：正割是偶函数，余割、正切和余切是奇函数。

5. 5
   $$\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$ 关于直线 $y = x$ 的反射是 $P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$：由对称性定理，这个反射交换正弦和余弦。

6. 6
   $$\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta$$

   取倒数和商时，正割与余割、正切与余切也互相交换。定义域互相对应：$\frac{\pi}{2} - \theta$ 属于正割的定义域，当且仅当 $\theta$ 属于余割的定义域，因为 $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$，其余函数也是如此。

证明

1. 1
   $$P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)$$

   按定义，$P$ 的坐标是余弦和正弦；从 $O$ 到 $Q$ 的水平线段的长度是横坐标，从 $Q$ 到 $P$ 的竖直线段的长度是纵坐标，二者在第一象限都是正的。

2. 2
   $$\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}$$

   圆在 $A$ 处的切线是直线 $x = 1$。把 $x = 1$ 代入终边的方程，得到 $T$：从 $A$ 到 $T$ 的线段在切线上，其长度为 $\tan \theta$。

3. 3
   $$T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$$

   点 $T$ 是点 $P(\theta)$ 乘以 $\sec \theta$，因为 $\sec \theta \cos \theta = 1$。由于 $P(\theta)$ 到原点的距离为 $1$，$T$ 到原点的距离为 $\sec \theta$：从 $O$ 到 $T$ 的线段在割线上，其长度就是正割。

4. 4
   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}$$

   顶点为 $O$、$A$ 和 $T$ 的三角形在 $A$ 处是直角，两条直角边为 $1$ 和 $\tan \theta$，斜边为 $\sec \theta$。在其中运用勾股定理，就是第二个平方关系。

5. 5
   $$\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}$$

   在 $B$ 处的切线是直线 $y = 1$。把 $y = 1$ 代入 $y = x \tan \theta$ 得 $x = \cot \theta$；又因为 $\csc \theta \sin \theta = 1$，点 $S$ 是 $P(\theta)$ 乘以 $\csc \theta$。因此，从 $B$ 到 $S$ 的线段的长度是余切，从 $O$ 到 $S$ 的线段的长度是余割。

6. 6
   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}$$

   顶点为 $O$、$B$ 和 $S$ 的三角形在 $B$ 处是直角，两条直角边为 $1$ 和 $\cot \theta$，斜边为 $\csc \theta$：由它得出第三个平方关系。它在 $O$ 处的角等于 $\frac{\pi}{2} - \theta$，对于这个角，$\theta$ 的余切是对边：它是余角的正切。