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Topos Uranos
中文 (中国)

和差化积与辅助角公式

摘要

本课由两角和与差的正弦公式和余弦公式，推出把正弦与余弦之积化为和、反过来把和化为积的公式，并借助弦的中点在单位圆上解释后者。本课证明每个式子 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x 都可写成辅助角形式 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)，其中 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}，角 φ\varphi 在 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 中唯一；由此用两种方法求出它的值域，其中一种是柯西-施瓦茨不等式；并得出结论：两个同频率振动的叠加仍是一个振动。本课把拍解释为一个慢振动与一个快振动之积，并且通过乘以一个使和式裂项相消的因子，求出角成等差数列的正弦之和与余弦之和的闭合形式。

学习目标

  1. 由两角和与差的公式推出积化和差公式与和差化积公式，并在单位圆上解释后者。
  2. 把每个式子 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x 写成辅助角形式，证明其振幅与角的存在性和唯一性，并用它求值域、最大值与最小值。
  3. 把两个同频率振动的叠加认作一个振动，并借助包络线描述拍。
  4. 借助裂项求和计算角成等差数列的正弦之和与余弦之和，并把这些变换用于化简式子和证明恒等式。

由积到和

在关于两角和与差公式的课中，已对所有实数 α\alpha 与 β\beta 证明了下面四个等式：

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

每一对中的两个公式含有相同的两个乘积，只在第二个乘积的符号上不同。既然如此，把它们相加或相减时，一个乘积消去，另一个加倍：正弦或余弦与另一个正弦或余弦的每个乘积，都可表示为正弦或余弦的和的一半或差的一半。这些公式称为积化和差术（其西文名称源自希腊语，意为“加法与减法”），16 世纪末的天文学家，其中包括第谷·布拉赫，曾借助正弦表，用它们把多位数的乘法化为加法与减法，那是在约翰·纳皮尔于 1614 年发表他的对数表之前。

定理积化和差

对所有实数 α\alpha 与 β\beta，乘积 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta 是 sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) 与 sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta) 的和的一半；乘积 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta 是这两个正弦的差的一半；乘积 cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta 是 cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) 与 cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta) 的和的一半，而乘积 sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta 是它们的差的一半。

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

每个公式都由一对中的两个公式相加或相减得到。图中取 α=2x\alpha = 2x 与 β=x\beta = x 加以说明：用粗线画出的乘积，与用细线画出的、频率为 33 和 11 的两个振动的和的一半或差的一半重合。

证明

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    把两角和的正弦公式与两角差的正弦公式相加：项 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta 消去。两边除以 22，得到第一个公式。

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    若不相加而相减，则消去的是项 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta。

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    余弦公式同样处理。相加时，正弦之积消去。

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    用两角差的余弦公式减去两角和的余弦公式，余弦之积消去。

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    取 β=α\beta = \alpha，又因为 sin⁡0=0\sin 0 = 0 与 cos⁡0=1\cos 0 = 1，就重新得到正弦的二倍角公式，以及关于两角和与差公式的课中的降幂公式。图中，sin⁡2x\sin^2 x 以周期 π\pi 围绕 12\frac{1}{2} 振动。

这些公式可以计算那些不能逐个因子化为特殊角的值的乘积。例如，取 α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} 与 β=π12\beta = \frac{\pi}{12}，两角之和为 π2\frac{\pi}{2}，两角之差为 π3\frac{\pi}{3}：

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

然而，这些公式的主要意义在别处：两个振动之积难以想象，它却是两个振动的叠加，这两个振动的频率是两个因子频率的和与差。于是，sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right)。