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Topos Uranos
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합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성

요약

이 수업은 사인과 코사인의 덧셈정리로부터 사인과 코사인의 곱을 합으로, 거꾸로 합을 곱으로 바꾸는 공식을 이끌어 내고, 뒤의 것을 현의 중점을 이용하여 단위원 위에서 해석한다. 또 모든 식 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x가 합성한 꼴 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)(단, R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}이고 각 φ\varphi는 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에서 유일하다)로 쓰인다는 것을 증명하고, 이로부터 그 치역을 두 가지 방법으로 구하며(그중 하나는 코시-슈바르츠 부등식이다), 진동수가 같은 두 진동의 중첩은 다시 진동이라는 결론을 얻는다. 나아가 맥놀이를 느린 진동과 빠른 진동의 곱으로 설명하고, 합을 망원 합으로 만드는 인수를 곱하여 각이 등차수열을 이루는 사인의 합과 코사인의 합을 닫힌 꼴로 구한다.

학습 목표

  1. 곱을 합으로 바꾸는 공식과 합을 곱으로 바꾸는 공식을 덧셈정리로부터 이끌어 내고, 뒤의 것을 단위원 위에서 해석한다.
  2. 모든 식 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x를 합성한 꼴로 쓰고, 그 진폭과 각의 존재와 유일성을 증명하며, 이를 이용하여 치역, 최댓값, 최솟값을 구한다.
  3. 진동수가 같은 두 진동의 중첩을 하나의 진동으로 파악하고, 맥놀이를 그 포락선으로 기술한다.
  4. 각이 등차수열을 이루는 사인의 합과 코사인의 합을 망원 합으로 계산하고, 이 변형을 식의 간단히 하기와 항등식의 증명에 응용한다.

곱에서 합으로

덧셈정리 수업에서는 모든 실수 α\alpha와 β\beta에 대하여 아래의 네 등식을 증명하였다:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

각 쌍의 두 공식은 같은 두 곱을 포함하고, 두 번째 곱의 부호만 다르다. 그렇다면 두 공식을 더하거나 빼면 한 곱은 소거되고 다른 곱은 두 배가 된다. 즉 사인이나 코사인과 다른 사인이나 코사인의 곱은 모두 사인이나 코사인의 합의 절반 또는 차의 절반으로 나타낼 수 있다. 이 공식들은 프로스타파이레시스(그리스어로 ‘덧셈과 뺄셈’)의 공식이라 불리며, 16세기 말의 천문학자들, 그중에서도 티코 브라헤는 존 네이피어가 1614년에 로그표를 발표하기 전에 사인표를 참조하여 여러 자리 수의 곱셈을 덧셈과 뺄셈으로 바꾸는 데 이 공식들을 사용하였다.

정리곱을 합으로 바꾸는 공식

모든 실수 α\alpha와 β\beta에 대하여, 곱 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta는 sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta)와 sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta)의 합의 절반이다. 곱 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta는 같은 두 사인의 차의 절반이다. 곱 cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta는 cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta)와 cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)의 합의 절반이고, 곱 sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta는 그 차의 절반이다.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

각 공식은 한 쌍의 두 공식을 더하거나 빼서 얻는다. 그림은 α=2x\alpha = 2x, β=x\beta = x인 경우를 보여 준다. 굵은 선으로 그린 곱은 가는 선으로 그린, 진동수가 33과 11인 두 진동의 합의 절반 또는 차의 절반과 일치한다.

증명

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    합의 사인의 공식과 차의 사인의 공식을 더하면 항 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta가 소거된다. 22로 나누면 첫 번째 공식을 얻는다.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    더하는 대신 빼면 항 sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta가 소거된다.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    코사인의 공식도 같은 방법으로 다룬다. 더하면 사인의 곱이 소거된다.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    차의 코사인의 공식에서 합의 코사인의 공식을 빼면 코사인의 곱이 소거된다.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    β=α\beta = \alpha로 두고 sin⁡0=0\sin 0 = 0와 cos⁡0=1\cos 0 = 1임을 이용하면, 사인의 배각 공식과 덧셈정리 수업의 차수를 낮추는 공식을 다시 얻는다. 그림에서 sin⁡2x\sin^2 x는 주기 π\pi로 12\frac{1}{2} 둘레를 진동한다.

이 공식들로 인수마다 특수각의 값으로 바꿀 수 없는 곱도 계산할 수 있다. 예를 들어 α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12}, β=π12\beta = \frac{\pi}{12}로 두면 두 각의 합은 π2\frac{\pi}{2}이고 차는 π3\frac{\pi}{3}이다:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

그러나 이 공식들의 주된 의의는 다른 데 있다. 떠올리기 어려운 두 진동의 곱은 두 진동의 중첩이며, 그 진동수는 인수들의 진동수의 합과 차이다. 이렇게 하여 sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right)이다.