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Topos Uranos
Português

Transformação de somas em produtos e a forma harmônica

Resumo

Esta aula deduz das fórmulas do seno e do cosseno da soma e da diferença aquelas que convertem produtos de senos e cossenos em somas e, reciprocamente, somas em produtos, e interpreta estas últimas na circunferência unitária por meio do ponto médio de uma corda. Demonstra que toda expressão asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x se escreve na forma harmônica Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), com R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} e um ângulo φ\varphi único em [0,2π)\ico{0}{2\pi}, obtém daí o seu conjunto imagem por dois caminhos, um dos quais é a desigualdade de Cauchy-Schwarz, e conclui que a superposição de duas oscilações da mesma frequência é outra oscilação. Explica os batimentos como o produto de uma oscilação lenta por uma rápida e, multiplicando por um fator que torna telescópica a soma, calcula em forma fechada as somas de senos e de cossenos de ângulos em progressão aritmética.

Objetivos de aprendizagem

  1. Deduzir as fórmulas de produto em soma e de soma em produto a partir das fórmulas de adição e subtração, e interpretar estas últimas na circunferência unitária.
  2. Escrever toda expressão asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x na forma harmônica, demonstrar a existência e a unicidade da sua amplitude e do seu ângulo, e empregá-la para achar conjuntos imagem, máximos e mínimos.
  3. Reconhecer a superposição de duas oscilações da mesma frequência como uma oscilação, e descrever os batimentos por meio da sua envoltória.
  4. Calcular somas de senos e de cossenos em progressão aritmética por meio de somas telescópicas, e aplicar estas transformações à simplificação de expressões e à demonstração de identidades.

Dos produtos às somas

Na aula sobre as fórmulas de adição e subtração demonstraram-se, para todos os reais α\alpha e β\beta, as quatro igualdades abaixo:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

As duas fórmulas de cada par contêm os mesmos dois produtos e diferem só no sinal do segundo. Se isto é assim, ao somá-las ou subtraí-las um dos produtos se cancela e o outro fica duplicado: cada produto de um seno ou um cosseno por outro se expressa como uma semissoma ou uma semidiferença de senos ou de cossenos. Estas fórmulas, chamadas de prostaférese (do grego, «adição e subtração»), serviram aos astrônomos do fim do século XVI, entre eles Tycho Brahe, para reduzir a multiplicação de números de muitos algarismos a somas e subtrações, consultando tabelas de senos, antes que John Napier publicasse em 1614 as suas tabelas de logaritmos.

TeoremaDe produto em soma

Para todos os reais α\alpha e β\beta, o produto sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta é a semissoma de sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) e sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta); o produto cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta é a semidiferença desses mesmos senos; o produto cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta é a semissoma de cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) e cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), e o produto sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta é a sua semidiferença.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Cada fórmula resulta de somar ou subtrair as duas fórmulas de um par. A figura ilustra-as com α=2x\alpha = 2x e β=x\beta = x: o produto, em traço grosso, coincide com a semissoma ou a semidiferença das duas oscilações de frequências 33 e 11, em traço fino.

Demonstração

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Somamos as fórmulas do seno da soma e do seno da diferença: os termos cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta se cancelam. Dividindo por 22 obtém-se a primeira fórmula.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Se em vez de somá-las as subtraímos, cancelam-se os termos sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Com as fórmulas do cosseno procede-se do mesmo modo. Ao somá-las cancelam-se os produtos de senos.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Ao subtrair a do cosseno da soma da do cosseno da diferença cancelam-se os produtos de cossenos.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Com β=α\beta = \alpha, e como sin⁡0=0\sin 0 = 0 e cos⁡0=1\cos 0 = 1, recuperam-se a fórmula do ângulo duplo do seno e as de redução de potências da aula sobre as fórmulas de adição e subtração. Na figura, sin⁡2x\sin^2 x oscila com período π\pi em torno de 12\frac{1}{2}.

As fórmulas permitem calcular produtos que não se reduzem a valores notáveis fator por fator. Por exemplo, com α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} e β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, a soma dos ângulos é π2\frac{\pi}{2} e a sua diferença é π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Ora, o interesse principal destas fórmulas é outro: um produto de duas oscilações, que é difícil de imaginar, é a superposição de duas oscilações cujas frequências são a soma e a diferença das frequências dos fatores. Assim, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).