Équations et inéquations trigonométriques

Démonstration

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Soit $\alpha = \arcsin c$, qui est dans $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ et vérifie $\sin \alpha = c$. Comme le sinus est strictement croissant sur cet intervalle, il n’y prend pas deux fois la même valeur : $\alpha$ est l’unique solution dans la première moitié du tour. Sur le cercle trigonométrique, $P(\alpha)$ est le point de la moitié droite qui se trouve à la hauteur $c$.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Si $x$ est dans $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, l’angle $\pi - x$ est dans $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ et a le même sinus que $x$. D’après l’étape qui précède, $x$ est solution exactement lorsque $\pi - x = \alpha$ : la droite horizontale de hauteur $c$ coupe la moitié gauche au point symétrique $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Soit maintenant $x$ un réel quelconque. D’après le lemme, avec $p = 2\pi$ et $a = -\frac{\pi}{2}$, on écrit $x = x_0 + 2k\pi$ avec $x_0$ dans le tour étudié, et par périodicité $\sin x = \sin x_0$. Par conséquent, $x$ est solution si et seulement si $x_0$ vaut $\alpha$ ou $\pi - \alpha$.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Réciproquement, tout nombre de ces deux familles est solution, là encore par périodicité. Sur la courbe du sinus, la droite $y = c$ coupe la courbe en deux points par période. Si $c = 1$ ou $c = -1$, les deux familles coïncident, car $\pi - \alpha$ diffère de $\alpha$ d’un multiple de $2\pi$, et il y a un seul point d’intersection par période.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Pour le cosinus, on utilise la symétrie des angles complémentaires, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, et le théorème des angles complémentaires de la leçon sur les fonctions réciproques, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. En appliquant l’étape qui précède à l’angle $\frac{\pi}{2} - x$, on obtient deux familles.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   En exprimant $x$, les familles sont $\arccos c - 2k\pi$ et $-\arccos c - 2k\pi$ ; comme $-k$ parcourt les entiers lorsque $k$ les parcourt, ce sont celles de l’énoncé. Sur le cercle, les points $P(\beta)$ et $P(-\beta)$, avec $\beta = \arccos c$, sont les deux intersections de la droite verticale d’abscisse $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Pour la tangente, de période $\pi$, on applique le lemme avec $p = \pi$ et $a = -\frac{\pi}{2}$ : si $x = x_0 + k\pi$ avec $x_0$ dans $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, où la tangente est une bijection sur $\mathbb{R}$, l’unique solution est $x_0 = \arctan c$ ; le point $-\frac{\pi}{2}$ ne compte pas, car la tangente n’y est pas définie. Si $\abs{c} > 1$, ni le sinus ni le cosinus n’atteignent la valeur $c$, car leurs valeurs sont dans $\icc{-1}{1}$.

Démonstration

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Soit $x_1$ un nombre réel. D’après le lemme, avec $p = 2\pi$, il existe un unique entier $k$ tel que $x_1 - 2k\pi$ soit dans $\ico{a}{a + 2\pi}$ : la famille des nombres $x_1 + 2j\pi$, avec $j$ entier, a exactement un élément dans le tour.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Soit $\alpha = \arcsin c$, dans $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Si les deux familles du sinus ont un élément commun, elles sont la même famille, et cela se produit exactement lorsque $\alpha$ vaut $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$, c’est-à-dire lorsque $c = \pm 1$. Par conséquent, si $\abs{c} < 1$ les deux familles fournissent deux solutions distinctes au tour, et si $\abs{c} = 1$, une seule.

3. 3
   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Soit $\beta = \arccos c$, dans $\icc{0}{\pi}$. Les deux familles du cosinus ont un élément commun exactement lorsque $\beta$ est un multiple entier de $\pi$, c’est-à-dire lorsque $\beta$ vaut $0$ ou $\pi$, ce qui équivaut à $c = \pm 1$ ; le décompte est le même que pour le sinus.

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Pour la tangente, il y a une seule famille, d’écart $\pi$ entre deux éléments consécutifs, et le lemme, avec $p = \pi$, lui donne exactement un élément dans $\ico{a}{a + \pi}$. Cet élément est solution, car $\arctan c + k\pi$ n’est jamais de la forme $\frac{\pi}{2} + j\pi$, où la tangente n’est pas définie : $\arctan c$ est dans $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.