Equazioni e disequazioni trigonometriche

Dimostrazione

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Sia $\alpha = \arcsin c$, che sta in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e soddisfa $\sin \alpha = c$. Poiché il seno è strettamente crescente in quell’intervallo, non vi assume due volte lo stesso valore: $\alpha$ è l’unica soluzione nella prima metà del giro. Sulla circonferenza goniometrica, $P(\alpha)$ è il punto della metà destra che si trova all’altezza $c$.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Se $x$ sta in $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, l’angolo $\pi - x$ sta in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e ha lo stesso seno di $x$. Per il passo appena visto, $x$ è soluzione esattamente quando $\pi - x = \alpha$: la retta orizzontale di altezza $c$ taglia la metà sinistra nel punto simmetrico $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Sia ora $x$ un reale qualsiasi. Per il lemma, con $p = 2\pi$ e $a = -\frac{\pi}{2}$, si scrive $x = x_0 + 2k\pi$ con $x_0$ nel giro studiato, e per la periodicità $\sin x = \sin x_0$. Quindi $x$ è soluzione se e solo se $x_0$ è $\alpha$ o $\pi - \alpha$.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Viceversa, ogni numero di queste due famiglie è soluzione, ancora per la periodicità. Nel grafico del seno, la retta $y = c$ taglia la curva in due punti per ogni periodo. Se $c = 1$ o $c = -1$, le due famiglie coincidono, perché $\pi - \alpha$ differisce da $\alpha$ per un multiplo di $2\pi$, e c’è un solo punto di intersezione per periodo.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Per il coseno si usano la simmetria degli angoli complementari, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, e il teorema degli angoli complementari della lezione sulle funzioni inverse, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. Applicando il passo appena visto all’angolo $\frac{\pi}{2} - x$ si ottengono due famiglie.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   Ricavando $x$, le famiglie sono $\arccos c - 2k\pi$ e $-\arccos c - 2k\pi$; poiché $-k$ percorre gli interi quando $k$ li percorre, sono quelle dell’enunciato. Sulla circonferenza, i punti $P(\beta)$ e $P(-\beta)$, con $\beta = \arccos c$, sono le due intersezioni della retta verticale di ascissa $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Per la tangente, di periodo $\pi$, si applica il lemma con $p = \pi$ e $a = -\frac{\pi}{2}$: se $x = x_0 + k\pi$ con $x_0$ in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, dove la tangente è una biiezione su $\mathbb{R}$, l’unica soluzione è $x_0 = \arctan c$; il punto $-\frac{\pi}{2}$ non conta, perché lì la tangente non è definita. Se $\abs{c} > 1$, né il seno né il coseno raggiungono il valore $c$, perché i loro valori stanno in $\icc{-1}{1}$.

Dimostrazione

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Sia $x_1$ un numero reale. Per il lemma, con $p = 2\pi$, esiste un unico intero $k$ tale che $x_1 - 2k\pi$ stia in $\ico{a}{a + 2\pi}$: la famiglia dei numeri $x_1 + 2j\pi$, con $j$ intero, ha esattamente un elemento nel giro.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sia $\alpha = \arcsin c$, in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Se le due famiglie del seno hanno un elemento comune, sono la stessa famiglia, e ciò accade esattamente quando $\alpha$ è $\frac{\pi}{2}$ o $-\frac{\pi}{2}$, cioè quando $c = \pm 1$. Quindi, se $\abs{c} < 1$ le due famiglie apportano al giro due soluzioni distinte, e se $\abs{c} = 1$, una sola.

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   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sia $\beta = \arccos c$, in $\icc{0}{\pi}$. Le due famiglie del coseno hanno un elemento comune esattamente quando $\beta$ è un multiplo intero di $\pi$, cioè quando $\beta$ è $0$ o $\pi$, il che equivale a $c = \pm 1$; il conteggio è lo stesso che per il seno.

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Per la tangente c’è una sola famiglia, con distanza $\pi$ tra elementi consecutivi, e il lemma, con $p = \pi$, le dà esattamente un elemento in $\ico{a}{a + \pi}$. Quell’elemento è soluzione, perché $\arctan c + k\pi$ non è mai della forma $\frac{\pi}{2} + j\pi$, in cui la tangente non è definita: $\arctan c$ sta in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.