Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα λύνει τις εξισώσεις και τις ανισώσεις στις οποίες ο άγνωστος εμφανίζεται μέσα σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αποδεικνύει πρώτα τις γενικές λύσεις των sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c και tan⁡x=c\tan x = c σε όλη την πραγματική ευθεία, οι οποίες επεκτείνουν μέσω της περιοδικότητας τις λύσεις σε μία στροφή που προκύπτουν από τις αντίστροφες συναρτήσεις, και μετρά πόσες από αυτές πέφτουν σε ένα δοσμένο διάστημα. Διδάσκει έπειτα πώς ανάγονται σε αυτές τις στοιχειώδεις εξισώσεις όσες λύνονται με ταυτότητες, με παραγοντοποίηση ή με πολλαπλάσιες γωνίες, μέσω της ισότητας δύο ημιτόνων ή δύο συνημιτόνων· λύνει τις γραμμικές εξισώσεις ως προς ημίτονο και συνημίτονο με την αρμονική μορφή, μαζί με τη συνθήκη επιλυσιμότητάς τους, καθώς και τις ομογενείς εξισώσεις, και δείχνει πώς η διαίρεση οδηγεί σε απώλεια λύσεων και ο τετραγωνισμός προσθέτει λύσεις. Τέλος, λύνει τις ανισώσεις σε μία στροφή με τον μοναδιαίο κύκλο και με πίνακες προσήμων, και τις επεκτείνει περιοδικά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύονται και να εφαρμόζονται οι γενικές λύσεις των στοιχειωδών εξισώσεων του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, και να μετρώνται οι λύσεις τους σε ένα δοσμένο διάστημα.
  2. Να ανάγεται μια τριγωνομετρική εξίσωση σε στοιχειώδεις εξισώσεις μέσω ταυτοτήτων, παραγοντοποίησης, της ισότητας δύο ημιτόνων ή δύο συνημιτόνων και της αρμονικής μορφής, και να κρίνεται πότε μια γραμμική εξίσωση ως προς ημίτονο και συνημίτονο έχει λύση.
  3. Να αναγνωρίζονται οι λύσεις που χάνονται με τη διαίρεση και όσες προστίθενται με τον τετραγωνισμό ή τον πολλαπλασιασμό, και να ελέγχεται κάθε λύση που προκύπτει στην αρχική εξίσωση.
  4. Να λύνονται τριγωνομετρικές ανισώσεις σε μία στροφή με τον μοναδιαίο κύκλο και με πίνακες προσήμων, και να γράφεται η γενική λύση τους.

Οι γενικές λύσεις των στοιχειωδών εξισώσεων

Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος εμφανίζεται στο όρισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όπως η 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 ή η sin⁡3x=sin⁡x\sin 3x = \sin x· η επίλυσή της είναι η εύρεση του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών που την ικανοποιούν. Στο μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αποδείχθηκε το θεώρημα των στοιχειωδών εξισώσεων, που δίνει τις λύσεις της sin⁡x=c\sin x = c και της cos⁡x=c\cos x = c στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Ωστόσο, το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν περίοδο 2π2\pi, και η εφαπτομένη περίοδο π\pi, σύμφωνα με το μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις· από αυτό έπεται ότι κάθε λύση επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, και ότι για να περιγραφούν όλες αρκεί να είναι γνωστές σε ένα διάστημα με μήκος μία περίοδο. Το γεγονός που επιτρέπει τη μετάβαση από ένα τέτοιο διάστημα σε όλη την ευθεία είναι μια παραλλαγή του θεωρήματος της αναγωγής στον πρώτο κύκλο, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους.

ΛήμμαΑναγωγή σε μία περίοδο

Έστω p>0p > 0 και aa πραγματικοί αριθμοί. Για κάθε πραγματικό xx υπάρχει μοναδικός ακέραιος kk τέτοιος ώστε x−kp∈[a,a+p)x - kp \in \ico{a}{a + p}.

Μια αλλαγή κλίμακας μεταφέρει το διάστημα [a,a+p)\ico{a}{a + p} πάνω στον πρώτο κύκλο, [0,2π)\ico{0}{2\pi}, και το θεώρημα της αναγωγής στον πρώτο κύκλο δίνει τον ζητούμενο ακέραιο. Το σχήμα χρησιμοποιεί a=1a = 1, p=52p = \frac{5}{2} και x=8x = 8.

Απόδειξη

  1. θ=2πp(x−a)=θ0+2kπ,0≤θ0<2π\theta = \frac{2\pi}{p} (x - a) = \dato{t}{\theta_0 + 2k\pi, \quad 0 \leq \theta_0 < 2\pi}

    Έστω θ\theta ο αριθμός που προκύπτει από τον xx αν αφαιρέσουμε aa και πολλαπλασιάσουμε επί 2πp\frac{2\pi}{p}. Από το θεώρημα της αναγωγής στον πρώτο κύκλο, υπάρχουν μοναδικός ακέραιος kk και μοναδικό θ0\theta_0 στο [0,2π)\ico{0}{2\pi} τέτοια ώστε θ=θ0+2kπ\theta = \theta_0 + 2k\pi.

  2. x−kp=a+p2πθ0→a≤x−kp<a+px - kp = a + \frac{p}{2\pi} \theta_0 \rightarrow \resaltar{a \leq x - kp < a + p}

    Πολλαπλασιάζουμε επί p2π\frac{p}{2\pi}, που είναι θετικό και διατηρεί τις ανισότητες, και προσθέτουμε aa: ο αριθμός x−kpx - kp βρίσκεται στο ζητούμενο διάστημα. Στο σχήμα, k=2k = 2 και x−2p=3x - 2p = 3.

  3. a≤x−jp<a+p→0≤θ−2jπ<2π→j=ka \leq x - jp < a + p \rightarrow 0 \leq \resaltar{\theta - 2j\pi} < 2\pi \rightarrow \resaltar{j = k}

    Μοναδικότητα: αν ένας ακέραιος jj ικανοποιεί επίσης a≤x−jp<a+pa \leq x - jp < a + p, αφαιρώντας aa και πολλαπλασιάζοντας επί 2πp\frac{2\pi}{p} προκύπτει ότι ο θ−2jπ\theta - 2j\pi βρίσκεται στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}, οπότε η θ=(θ−2jπ)+2jπ\theta = \left( \theta - 2j\pi \right) + 2j\pi είναι μια ακόμη διάσπαση σαν εκείνη του πρώτου βήματος· από τη μοναδικότητα που δίνει το θεώρημα της αναγωγής, j=kj = k.

ΘεώρημαΓενικές λύσεις

Έστω cc πραγματικός αριθμός με ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1. Οι λύσεις της sin⁡x=c\sin x = c είναι οι αριθμοί arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi και π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, και οι λύσεις της cos⁡x=c\cos x = c οι αριθμοί arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi και −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi, όπου ο kk διατρέχει τους ακεραίους. Για κάθε πραγματικό cc, οι λύσεις της tan⁡x=c\tan x = c είναι οι αριθμοί arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, με kk ακέραιο. Αν ∣c∣>1\abs{c} > 1, οι εξισώσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου δεν έχουν λύση.

Με τον συμβολισμό των συνόλων και των λογικών συνδέσμων, το θεώρημα γράφεται ως εξής:

sin⁡x=c↔x=arcsin⁡c+2kπ∨x=π−arcsin⁡c+2kπ,k∈Z\sin x = c \leftrightarrow x = \arcsin c + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsin c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ,tan⁡x=c↔x=arctan⁡c+kπ,k∈Z\cos x = c \leftrightarrow x = \pm \arccos c + 2k\pi, \qquad \tan x = c \leftrightarrow x = \arctan c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Εργαζόμαστε πρώτα στο [−π2,3π2)\ico{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}, που είναι μια στροφή, χωρισμένη σε δύο μισά: στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} το ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, από το θεώρημα της μονοτονίας στα κύρια διαστήματα, που το μάθημα για τις αντίστροφες συναρτήσεις συνάγει από το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου, και στο (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} δρα η συμμετρία των παραπληρωματικών γωνιών, sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x, από το μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Το λήμμα επεκτείνει το αποτέλεσμα σε όλη την ευθεία, και η εξίσωση του συνημιτόνου ανάγεται σε εκείνη του ημιτόνου. Τα σχήματα χρησιμοποιούν c=12c = \frac{1}{2}, με arcsin⁡c=π6\arcsin c = \frac{\pi}{6}.

Απόδειξη

  1. −π2≤x≤π2→(sin⁡x=c↔x=α)\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}

    Έστω α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c, που βρίσκεται στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} και ικανοποιεί sin⁡α=c\sin \alpha = c. Αφού το ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση σε αυτό το διάστημα, δεν παίρνει εκεί δύο φορές την ίδια τιμή: η α\alpha είναι η μοναδική λύση στο πρώτο μισό της στροφής. Στον μοναδιαίο κύκλο, το P(α)P(\alpha) είναι το σημείο του δεξιού ημικυκλίου που βρίσκεται σε ύψος cc.

  2. sin⁡x=sin⁡(π−x)=c↔π−x=α↔x=π−α\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}

    Αν το xx βρίσκεται στο (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}, η γωνία π−x\pi - x βρίσκεται στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} και έχει το ίδιο ημίτονο με το xx. Από τα παραπάνω, το xx είναι λύση ακριβώς όταν π−x=α\pi - x = \alpha: η οριζόντια ευθεία σε ύψος cc τέμνει το αριστερό ημικύκλιο στο συμμετρικό σημείο P(π−α)P(\pi - \alpha).

  3. sin⁡x=sin⁡x0=c↔x=α+2kπ∨x=π−α+2kπ\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}

    Έστω τώρα xx ένας οποιοσδήποτε πραγματικός. Από το λήμμα, με p=2πp = 2\pi και a=−π2a = -\frac{\pi}{2}, γράφεται x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi με το x0x_0 στη στροφή που μελετήθηκε, και από την περιοδικότητα sin⁡x=sin⁡x0\sin x = \sin x_0. Άρα το xx είναι λύση αν και μόνο αν το x0x_0 είναι το α\alpha ή το π−α\pi - \alpha.

  4. α=±π2→π−α=α∨π−α=α+2π\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}

    Αντίστροφα, κάθε αριθμός αυτών των δύο οικογενειών είναι λύση, πάλι από την περιοδικότητα. Στη γραφική παράσταση του ημιτόνου, η ευθεία y=cy = c τέμνει την καμπύλη σε δύο σημεία ανά περίοδο. Αν c=1c = 1 ή c=−1c = -1, οι δύο οικογένειες συμπίπτουν, επειδή το π−α\pi - \alpha διαφέρει από το α\alpha κατά ένα πολλαπλάσιο του 2π2\pi, και υπάρχει ένα μόνο σημείο τομής ανά περίοδο.

  5. π2−x=π2−arccos⁡c+2kπ∨π2−x=π2+arccos⁡c+2kπ\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi

    Για το συνημίτονο χρησιμοποιείται η συμμετρία των συμπληρωματικών γωνιών, cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right), και το θεώρημα των συμπληρωματικών γωνιών από το μάθημα για τις αντίστροφες συναρτήσεις, arcsin⁡c=π2−arccos⁡c\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στη γωνία π2−x\frac{\pi}{2} - x προκύπτουν δύο οικογένειες.

  6. cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}

    Λύνοντας ως προς xx, οι οικογένειες είναι οι arccos⁡c−2kπ\arccos c - 2k\pi και −arccos⁡c−2kπ-\arccos c - 2k\pi· αφού ο −k-k διατρέχει τους ακεραίους όταν τους διατρέχει ο kk, είναι εκείνες της διατύπωσης. Στον κύκλο, τα σημεία P(β)P(\beta) και P(−β)P(-\beta), με β=arccos⁡c\beta = \arccos c, είναι οι δύο τομές της κατακόρυφης ευθείας με τετμημένη cc.

  7. tan⁡x=tan⁡x0=c↔x=arctan⁡c+kπ\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}

    Για την εφαπτομένη, με περίοδο π\pi, εφαρμόζεται το λήμμα με p=πp = \pi και a=−π2a = -\frac{\pi}{2}: αν x=x0+kπx = x_0 + k\pi με το x0x_0 στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, όπου η εφαπτομένη είναι αμφιμονοσήμαντη επί του R\mathbb{R}, η μοναδική λύση είναι x0=arctan⁡cx_0 = \arctan c· το σημείο −π2-\frac{\pi}{2} δεν μετράει, επειδή εκεί η εφαπτομένη δεν ορίζεται. Αν ∣c∣>1\abs{c} > 1, ούτε το ημίτονο ούτε το συνημίτονο παίρνουν την τιμή cc, επειδή οι τιμές τους βρίσκονται στο [−1,1]\icc{-1}{1}.

Για παράδειγμα, αφού arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}, οι λύσεις της sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} είναι εκείνες των δύο οικογενειών που ακολουθούν· με k=1k = 1 στην πρώτη και k=0k = 0 στη δεύτερη προκύπτουν οι δύο που βρίσκονται στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}, που είναι οι 11π6\frac{11\pi}{6} και 7π6\frac{7\pi}{6}, όπως στο μάθημα για τις αντίστροφες συναρτήσεις.

sin⁡x=−12↔x=−π6+2kπ∨x=7π6+2kπ,k∈Z\sin x = -\frac{1}{2} \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Οι λύσεις της sin⁡x=0\sin x = 0 σχηματίζουν δύο οικογένειες, 2kπ2k\pi και π+2kπ\pi + 2k\pi, που μαζί είναι τα ακέραια πολλαπλάσια του π\pi· οι λύσεις της cos⁡x=0\cos x = 0 είναι οι ±π2+2kπ\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi, που μαζί είναι οι αριθμοί π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi. Αυτές οι δύο συμπαγείς περιγραφές χρησιμοποιούνται συχνά:

sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \qquad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Το πλήθος των λύσεων σε ένα διάστημα

Τα ερωτήματα για τριγωνομετρικές εξισώσεις συνήθως περιορίζονται σε ένα διάστημα, σχεδόν πάντα το [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Το λήμμα λέει ότι κάθε οικογένεια της μορφής x1+2kπx_1 + 2k\pi έχει ακριβώς ένα μέλος στο [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}, όποιο κι αν είναι το aa· από αυτό έπεται το πλήθος των λύσεων των στοιχειωδών εξισώσεων σε μια οποιαδήποτε στροφή.

ΘεώρημαΛύσεις σε μία στροφή

Έστω aa και cc πραγματικοί αριθμοί. Αν ∣c∣<1\abs{c} < 1, καθεμία από τις εξισώσεις sin⁡x=c\sin x = c και cos⁡x=c\cos x = c έχει ακριβώς δύο λύσεις στο [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}, και αν ∣c∣=1\abs{c} = 1, ακριβώς μία. Η εξίσωση tan⁡x=c\tan x = c έχει ακριβώς μία λύση στο [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}.

Κάθε οικογένεια λύσεων συνεισφέρει ένα μόνο μέλος στη στροφή, από το λήμμα· αρκεί να ξέρουμε πότε οι δύο οικογένειες του ημιτόνου, ή οι δύο του συνημιτόνου, είναι μία και η ίδια οικογένεια. Τα σχήματα χρησιμοποιούν a=1a = 1, με c=12c = \frac{1}{2} και c=1c = 1.

Απόδειξη

  1. x1+2jπ∈[a,a+2π)↔j=−k\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}

    Έστω x1x_1 ένας πραγματικός αριθμός. Από το λήμμα, με p=2πp = 2\pi, υπάρχει μοναδικός ακέραιος kk τέτοιος ώστε ο x1−2kπx_1 - 2k\pi να βρίσκεται στο [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}: η οικογένεια των αριθμών x1+2jπx_1 + 2j\pi, με jj ακέραιο, έχει ακριβώς ένα μέλος στη στροφή.

  2. α+2kπ=π−α+2jπ↔α=π2+(j−k)π↔α=±π2↔c=±1\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    Έστω α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c, στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Αν οι δύο οικογένειες του ημιτόνου έχουν ένα κοινό μέλος, είναι η ίδια οικογένεια, και αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν η α\alpha είναι π2\frac{\pi}{2} ή −π2-\frac{\pi}{2}, δηλαδή όταν c=±1c = \pm 1. Συνεπώς, αν ∣c∣<1\abs{c} < 1 οι δύο οικογένειες συνεισφέρουν δύο διαφορετικές λύσεις στη στροφή, και αν ∣c∣=1\abs{c} = 1, μία μόνο.

  3. β+2kπ=−β+2jπ↔β=(j−k)π↔β∈{0,π}↔c=±1\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    Έστω β=arccos⁡c\beta = \arccos c, στο [0,π]\icc{0}{\pi}. Οι δύο οικογένειες του συνημιτόνου έχουν ένα κοινό μέλος ακριβώς όταν η β\beta είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π\pi, δηλαδή όταν η β\beta είναι 00 ή π\pi, πράγμα που ισοδυναμεί με c=±1c = \pm 1· η καταμέτρηση είναι ίδια με εκείνη του ημιτόνου.

  4. −π2<arctan⁡c<π2→arctan⁡c+kπ≠π2+jπ-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}

    Για την εφαπτομένη υπάρχει μία μόνο οικογένεια, με απόσταση π\pi μεταξύ διαδοχικών μελών, και το λήμμα, με p=πp = \pi, της δίνει ακριβώς ένα μέλος στο [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}. Αυτό το μέλος είναι λύση, επειδή ο arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi δεν είναι ποτέ της μορφής π2+jπ\frac{\pi}{2} + j\pi, όπου η εφαπτομένη δεν ορίζεται: ο arctan⁡c\arctan c βρίσκεται στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.