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Topos Uranos
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삼각방정식과 삼각함수 부등식

요약

이 수업에서는 미지수가 삼각함수 안에 나타나는 방정식과 부등식을 푼다. 먼저 sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c, tan⁡x=c\tan x = c의 실수 전체에서의 일반해를 증명한다. 이것은 역함수로 얻은 한 바퀴 안의 해를 주기성에 의해 넓힌 것이며, 그중 몇 개가 주어진 구간에 들어가는지도 센다. 그 뒤에 항등식, 인수분해, 배각으로 푸는 방정식을 두 사인의 상등이나 두 코사인의 상등을 통해 이 기본 방정식으로 환원하는 방법을 보인다. 또 사인과 코사인에 관한 일차방정식을 합성한 꼴로 해를 가질 조건과 함께 풀고, 동차방정식도 풀며, 나누면 해를 잃고 제곱하면 해가 더해짐을 보인다. 끝으로 한 바퀴에서의 부등식을 단위원과 부호표로 풀고, 그 해를 주기적으로 넓힌다.

학습 목표

  1. 사인, 코사인, 탄젠트의 기본 방정식의 일반해를 증명하고 적용하며, 주어진 구간에서 그 해의 개수를 센다.
  2. 항등식, 인수분해, 두 사인의 상등이나 두 코사인의 상등, 합성한 꼴을 이용하여 삼각방정식을 기본 방정식으로 환원하고, 사인과 코사인에 관한 일차방정식이 언제 해를 가지는지 판정한다.
  3. 나눌 때 잃는 해와 제곱하거나 곱할 때 더해지는 해를 알아보고, 얻은 각 해를 원래 방정식에서 확인한다.
  4. 한 바퀴에서의 삼각함수 부등식을 단위원과 부호표로 풀고, 그 일반해를 쓴다.

기본 방정식의 일반해

삼각방정식이란 미지수가 삼각함수의 인수에 나타나는 방정식으로, 예를 들어 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0이나 sin⁡3x=sin⁡x\sin 3x = \sin x가 그러하다. 이를 푼다는 것은 그것을 만족하는 실수 전체의 집합을 구하는 것이다. 역삼각함수에 관한 수업에서 기본 방정식 정리를 증명하였는데, 이 정리는 sin⁡x=c\sin x = c과 cos⁡x=c\cos x = c의 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에서의 해를 준다. 그런데 사인과 코사인은 주기 2π2\pi를 가지고, 탄젠트는 주기 π\pi를 가진다. 이는 삼각함수와 그 그래프에 관한 수업에 따른 것이다. 따라서 각 해는 무한히 여러 번 반복되며, 모든 해를 기술하려면 길이가 한 주기인 구간에서 해를 알면 충분하다. 이러한 구간에서 실수 전체로 넘어가게 해 주는 사실은 첫 바퀴로의 환원 정리의 한 변형이며, 이 정리는 각과 그 측정에 관한 수업에서 증명하였다.

보조정리한 주기로의 환원

p>0p > 0과 aa를 실수라 하자. 임의의 실수 xx에 대하여, 유일한 정수 kk가 존재하여 x−kp∈[a,a+p)x - kp \in \ico{a}{a + p}가 된다.

척도의 변환은 구간 [a,a+p)\ico{a}{a + p}를 첫 바퀴 [0,2π)\ico{0}{2\pi}로 옮기고, 첫 바퀴로의 환원 정리가 구하는 정수를 준다. 그림에서는 a=1a = 1, p=52p = \frac{5}{2}, x=8x = 8를 쓴다.

증명

  1. θ=2πp(x−a)=θ0+2kπ,0≤θ0<2π\theta = \frac{2\pi}{p} (x - a) = \dato{t}{\theta_0 + 2k\pi, \quad 0 \leq \theta_0 < 2\pi}

    θ\theta를 xx에서 aa를 빼고 2πp\frac{2\pi}{p}를 곱하여 얻는 수라 하자. 첫 바퀴로의 환원 정리에 의하여, 유일한 정수 kk와 유일한 θ0\theta_0([0,2π)\ico{0}{2\pi}의 원소)이 존재하여 θ=θ0+2kπ\theta = \theta_0 + 2k\pi이 된다.

  2. x−kp=a+p2πθ0→a≤x−kp<a+px - kp = a + \frac{p}{2\pi} \theta_0 \rightarrow \resaltar{a \leq x - kp < a + p}

    p2π\frac{p}{2\pi}를 곱하고(이 수는 양수이므로 부등호의 방향을 보존한다) aa를 더한다. 그러면 수 x−kpx - kp는 구하는 구간에 있다. 그림에서는 k=2k = 2, x−2p=3x - 2p = 3이다.

  3. a≤x−jp<a+p→0≤θ−2jπ<2π→j=ka \leq x - jp < a + p \rightarrow 0 \leq \resaltar{\theta - 2j\pi} < 2\pi \rightarrow \resaltar{j = k}

    유일성: 정수 jj도 a≤x−jp<a+pa \leq x - jp < a + p를 만족하면, aa를 빼고 2πp\frac{2\pi}{p}를 곱하여 θ−2jπ\theta - 2j\pi가 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에 있음을 얻는다. 따라서 θ=(θ−2jπ)+2jπ\theta = \left( \theta - 2j\pi \right) + 2j\pi은 증명 첫머리와 같은 꼴의 또 다른 분해이다. 환원 정리가 주는 유일성에 의하여 j=kj = k이다.

정리일반해

cc를 ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1를 만족하는 실수라 하자. sin⁡x=c\sin x = c의 해는 수 arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi와 π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi이고, cos⁡x=c\cos x = c의 해는 수 arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi와 −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi이다. 여기서 kk는 정수 전체를 움직인다. 임의의 실수 cc에 대하여 tan⁡x=c\tan x = c의 해는 수 arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi이다(kk는 정수). ∣c∣>1\abs{c} > 1이면 사인과 코사인의 방정식은 해를 가지지 않는다.

집합과 논리 연결사의 기호로 쓰면 정리는 아래와 같다.

sin⁡x=c↔x=arcsin⁡c+2kπ∨x=π−arcsin⁡c+2kπ,k∈Z\sin x = c \leftrightarrow x = \arcsin c + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsin c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ,tan⁡x=c↔x=arctan⁡c+kπ,k∈Z\cos x = c \leftrightarrow x = \pm \arccos c + 2k\pi, \qquad \tan x = c \leftrightarrow x = \arctan c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

먼저 [−π2,3π2)\ico{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}에서 생각한다. 이것은 한 바퀴이며, 두 개의 절반으로 나눈다. [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 사인은 순증가한다. 이는 주값의 구간에서의 단조성 정리에 따른 것이며, 역함수 수업은 이 정리를 호의 길이에 따른 이동의 공리로부터 이끌어 냈다. (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}에서는 보각의 대칭성 sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x가 작용한다. 이것은 삼각비에 관한 수업에서 보였다. 보조정리가 결과를 실수 전체로 넓히고, 코사인의 방정식은 사인의 방정식으로 환원된다. 그림에서는 c=12c = \frac{1}{2}를 쓰며, 이때 arcsin⁡c=π6\arcsin c = \frac{\pi}{6}이다.

증명

  1. −π2≤x≤π2→(sin⁡x=c↔x=α)\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}

    α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c이라 하자. 이 수는 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있고 sin⁡α=c\sin \alpha = c을 만족한다. 사인은 이 구간에서 순증가하므로 같은 값을 두 번 취하지 않는다. 즉 α\alpha는 한 바퀴의 앞쪽 절반에서 유일한 해이다. 단위원에서 P(α)P(\alpha)는 오른쪽 반원 위에서 높이 cc에 있는 점이다.

  2. sin⁡x=sin⁡(π−x)=c↔π−x=α↔x=π−α\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}

    xx가 (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}에 있으면, 각 π−x\pi - x는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있고 xx와 같은 사인을 가진다. 위에서 보인 것에 의하여 xx가 해인 것은 정확히 π−x=α\pi - x = \alpha일 때이다. 높이 cc의 수평인 직선은 왼쪽 반원과 대칭인 점 P(π−α)P(\pi - \alpha)에서 만난다.

  3. sin⁡x=sin⁡x0=c↔x=α+2kπ∨x=π−α+2kπ\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}

    이제 xx를 임의의 실수라 하자. 보조정리에 의하여 p=2πp = 2\pi, a=−π2a = -\frac{\pi}{2}으로 두면 x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi로 쓸 수 있다. 여기서 x0x_0은 앞에서 살펴본 한 바퀴 안에 있고, 주기성에 의하여 sin⁡x=sin⁡x0\sin x = \sin x_0이다. 따라서 xx가 해일 필요충분조건은 x0x_0이 α\alpha나 π−α\pi - \alpha인 것이다.

  4. α=±π2→π−α=α∨π−α=α+2π\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}

    거꾸로, 이 두 족의 어떤 수도 역시 주기성에 의하여 해이다. 사인의 그래프에서 직선 y=cy = c은 한 주기마다 두 점에서 곡선과 만난다. c=1c = 1나 c=−1c = -1이면 두 족은 일치한다. π−α\pi - \alpha와 α\alpha의 차가 2π2\pi의 배수가 되기 때문이며, 교점은 한 주기마다 하나뿐이다.

  5. π2−x=π2−arccos⁡c+2kπ∨π2−x=π2+arccos⁡c+2kπ\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi

    코사인에 대해서는 여각의 대칭성 cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)과 역함수 수업의 여각 정리 arcsin⁡c=π2−arccos⁡c\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c를 이용한다. 위의 것을 각 π2−x\frac{\pi}{2} - x에 적용하면 두 족을 얻는다.

  6. cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}

    xx에 대하여 풀면 족은 arccos⁡c−2kπ\arccos c - 2k\pi와 −arccos⁡c−2kπ-\arccos c - 2k\pi이다. −k-k는 kk가 정수 전체를 움직일 때 마찬가지로 정수 전체를 움직이므로, 이것들은 정리의 족이다. 원에서 점 P(β)P(\beta)와 P(−β)P(-\beta)(단, β=arccos⁡c\beta = \arccos c)은 가로 좌표가 cc인 연직선과의 두 교점이다.

  7. tan⁡x=tan⁡x0=c↔x=arctan⁡c+kπ\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}

    주기가 π\pi인 탄젠트에 대해서는 p=πp = \pi, a=−π2a = -\frac{\pi}{2}으로 두고 보조정리를 적용한다. x=x0+kπx = x_0 + k\pi이고 x0x_0이 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있을 때(이 구간에서 탄젠트는 R\mathbb{R} 위로의 전단사이다), 유일한 해는 x0=arctan⁡cx_0 = \arctan c이다. 점 −π2-\frac{\pi}{2}는 세지 않는데, 거기서 탄젠트가 정의되지 않기 때문이다. ∣c∣>1\abs{c} > 1이면 사인도 코사인도 값 cc를 취하지 않는다. 그 값들은 [−1,1]\icc{-1}{1}에 있기 때문이다.

예를 들어 arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}이므로, sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2}의 해는 아래 두 족의 수이다. 첫째 족에서 k=1k = 1, 둘째 족에서 k=0k = 0로 두면 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에 있는 두 해를 얻으며, 그것은 11π6\frac{11\pi}{6}과 7π6\frac{7\pi}{6}으로, 역함수 수업의 결과와 같다.

sin⁡x=−12↔x=−π6+2kπ∨x=7π6+2kπ,k∈Z\sin x = -\frac{1}{2} \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

sin⁡x=0\sin x = 0의 해는 두 족 2kπ2k\pi와 π+2kπ\pi + 2k\pi를 이루며, 합하면 π\pi의 정수배이다. cos⁡x=0\cos x = 0의 해는 ±π2+2kπ\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi이며, 합하면 수 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi이다. 이 두 간결한 기술은 자주 쓰인다.

sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \qquad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

구간에서의 해의 개수

삼각방정식에 관한 물음은 대개 어떤 구간으로 한정되며, 거의 언제나 그 구간은 [0,2π)\ico{0}{2\pi}이다. 보조정리에 따르면 x1+2kπx_1 + 2k\pi 꼴의 각 족은 [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}에 정확히 하나의 원소를 가진다. aa가 무엇이든 그러하다. 이로부터 임의의 한 바퀴에서 기본 방정식의 해의 개수를 알 수 있다.

정리한 바퀴에서의 해

aa와 cc를 실수라 하자. ∣c∣<1\abs{c} < 1이면 방정식 sin⁡x=c\sin x = c와 cos⁡x=c\cos x = c는 각각 [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}에서 정확히 두 개의 해를 가지고, ∣c∣=1\abs{c} = 1이면 정확히 하나의 해를 가진다. 방정식 tan⁡x=c\tan x = c은 [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}에서 정확히 하나의 해를 가진다.

보조정리에 의하여 해의 각 족은 한 바퀴에 하나의 원소만 준다. 사인의 두 족, 또는 코사인의 두 족이 언제 같은 하나의 족이 되는지 알면 충분하다. 그림에서는 a=1a = 1로 두고 c=12c = \frac{1}{2}와 c=1c = 1을 쓴다.

증명

  1. x1+2jπ∈[a,a+2π)↔j=−k\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}

    x1x_1을 실수라 하자. 보조정리에 의하여 p=2πp = 2\pi로 두면, 유일한 정수 kk가 존재하여 x1−2kπx_1 - 2k\pi가 [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}에 있다. 즉 수 x1+2jπx_1 + 2j\pi(jj는 정수)의 족은 한 바퀴 안에 정확히 하나의 원소를 가진다.

  2. α+2kπ=π−α+2jπ↔α=π2+(j−k)π↔α=±π2↔c=±1\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c이라 하자. 이 수는 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있다. 사인의 두 족이 공통 원소를 가지면 두 족은 같은 족이며, 이는 정확히 α\alpha가 π2\frac{\pi}{2}나 −π2-\frac{\pi}{2}일 때, 즉 c=±1c = \pm 1일 때 일어난다. 따라서 ∣c∣<1\abs{c} < 1이면 두 족은 한 바퀴에 서로 다른 두 해를 주고, ∣c∣=1\abs{c} = 1이면 하나만 준다.

  3. β+2kπ=−β+2jπ↔β=(j−k)π↔β∈{0,π}↔c=±1\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    β=arccos⁡c\beta = \arccos c이라 하자. 이 수는 [0,π]\icc{0}{\pi}에 있다. 코사인의 두 족이 공통 원소를 가지는 것은 정확히 β\beta가 π\pi의 정수배일 때, 즉 β\beta가 00이나 π\pi일 때이며, 이는 c=±1c = \pm 1과 동치이다. 개수를 세는 방법은 사인과 같다.

  4. −π2<arctan⁡c<π2→arctan⁡c+kπ≠π2+jπ-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}

    탄젠트에 대해서는 족이 하나뿐이고 이웃한 원소의 간격은 π\pi이며, 보조정리는 p=πp = \pi로 두어 이 족에 [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}의 원소를 정확히 하나 준다. 이 원소는 해이다. arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi는 결코 π2+jπ\frac{\pi}{2} + j\pi 꼴(탄젠트가 정의되지 않는 점)이 되지 않기 때문이다. 즉 arctan⁡c\arctan c는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있다.