Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen

Beweis

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Sei $\alpha = \arcsin c$; diese Zahl liegt in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ und erfüllt $\sin \alpha = c$. Da der Sinus auf diesem Intervall streng monoton wachsend ist, nimmt er dort keinen Wert zweimal an: $\alpha$ ist die einzige Lösung in der ersten Hälfte der Umdrehung. Auf dem Einheitskreis ist $P(\alpha)$ der Punkt der rechten Hälfte, der auf der Höhe $c$ liegt.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Liegt $x$ in $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, so liegt der Winkel $\pi - x$ in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ und hat denselben Sinus wie $x$. Nach dem vorangehenden Schritt ist $x$ genau dann eine Lösung, wenn $\pi - x = \alpha$ gilt: Die horizontale Gerade der Höhe $c$ schneidet die linke Hälfte im symmetrischen Punkt $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Sei nun $x$ eine beliebige reelle Zahl. Nach dem Lemma, mit $p = 2\pi$ und $a = -\frac{\pi}{2}$, schreibt man $x = x_0 + 2k\pi$ mit $x_0$ in der untersuchten Umdrehung, und wegen der Periodizität gilt $\sin x = \sin x_0$. Daher ist $x$ genau dann eine Lösung, wenn $x_0$ gleich $\alpha$ oder $\pi - \alpha$ ist.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Umgekehrt ist jede Zahl dieser beiden Familien eine Lösung, ebenfalls wegen der Periodizität. Im Graphen des Sinus schneidet die Gerade $y = c$ die Kurve in zwei Punkten pro Periode. Ist $c = 1$ oder $c = -1$, so fallen die beiden Familien zusammen, weil sich $\pi - \alpha$ von $\alpha$ um ein Vielfaches von $2\pi$ unterscheidet, und es gibt nur einen Schnittpunkt pro Periode.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Für den Kosinus verwendet man die Symmetrie der Komplementwinkel, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, und den Satz über die Komplementwinkel aus der Lektion über die Arkusfunktionen, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. Wendet man den vorangehenden Schritt auf den Winkel $\frac{\pi}{2} - x$ an, so erhält man zwei Familien.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   Nach $x$ aufgelöst, sind die Familien $\arccos c - 2k\pi$ und $-\arccos c - 2k\pi$; da $-k$ die ganzen Zahlen durchläuft, wenn $k$ sie durchläuft, sind es die der Aussage. Auf dem Kreis sind die Punkte $P(\beta)$ und $P(-\beta)$ mit $\beta = \arccos c$ die beiden Schnittpunkte der vertikalen Geraden mit der Abszisse $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Für den Tangens mit der Periode $\pi$ wendet man das Lemma mit $p = \pi$ und $a = -\frac{\pi}{2}$ an: Ist $x = x_0 + k\pi$ mit $x_0$ in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, wo der Tangens eine Bijektion auf $\mathbb{R}$ ist, so ist die einzige Lösung $x_0 = \arctan c$; der Punkt $-\frac{\pi}{2}$ zählt nicht, weil der Tangens dort nicht definiert ist. Ist $\abs{c} > 1$, so erreichen weder Sinus noch Kosinus den Wert $c$, weil ihre Werte in $\icc{-1}{1}$ liegen.

Beweis

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Sei $x_1$ eine reelle Zahl. Nach dem Lemma, mit $p = 2\pi$, gibt es genau eine ganze Zahl $k$, für die $x_1 - 2k\pi$ in $\ico{a}{a + 2\pi}$ liegt: Die Familie der Zahlen $x_1 + 2j\pi$ mit ganzzahligem $j$ hat genau ein Element in der Umdrehung.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sei $\alpha = \arcsin c$, in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Haben die beiden Familien des Sinus ein gemeinsames Element, so sind sie dieselbe Familie, und das geschieht genau dann, wenn $\alpha$ gleich $\frac{\pi}{2}$ oder $-\frac{\pi}{2}$ ist, das heißt, wenn $c = \pm 1$. Daher steuern die beiden Familien im Fall $\abs{c} < 1$ zwei verschiedene Lösungen zur Umdrehung bei und im Fall $\abs{c} = 1$ nur eine.

3. 3
   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Sei $\beta = \arccos c$, in $\icc{0}{\pi}$. Die beiden Familien des Kosinus haben genau dann ein gemeinsames Element, wenn $\beta$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist, das heißt, wenn $\beta$ gleich $0$ oder $\pi$ ist, was zu $c = \pm 1$ äquivalent ist; die Zählung ist dieselbe wie beim Sinus.

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Für den Tangens gibt es nur eine Familie, mit dem Abstand $\pi$ zwischen aufeinanderfolgenden Elementen, und das Lemma, mit $p = \pi$, gibt ihr genau ein Element in $\ico{a}{a + \pi}$. Dieses Element ist eine Lösung, denn $\arctan c + k\pi$ ist nie von der Form $\frac{\pi}{2} + j\pi$, wo der Tangens nicht definiert ist: $\arctan c$ liegt in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.