त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण

प्रमाण

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   मान लीजिए $\alpha = \arcsin c$, जो $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है और $\sin \alpha = c$ को संतुष्ट करता है। चूँकि ज्या उस अंतराल पर दृढ़तः वर्धमान है, वह वहाँ एक ही मान दो बार नहीं लेती: $\alpha$ चक्कर के पहले आधे में एकमात्र हल है। मात्रक वृत्त पर, $P(\alpha)$ दाएँ अर्धवृत्त का वह बिंदु है जो ऊँचाई $c$ पर है।

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   यदि $x$, $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$ में है, तो कोण $\pi - x$, $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है और उसकी ज्या वही है जो $x$ की है। ऊपर सिद्ध परिणाम से, $x$ हल ठीक तब है जब $\pi - x = \alpha$: ऊँचाई $c$ वाली क्षैतिज रेखा बाएँ अर्धवृत्त को सममित बिंदु $P(\pi - \alpha)$ पर काटती है।

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   अब मान लीजिए $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है। प्रमेयिका से, $p = 2\pi$ और $a = -\frac{\pi}{2}$ लेकर, $x = x_0 + 2k\pi$ लिखा जाता है, जहाँ $x_0$ अध्ययन किए गए चक्कर में है, और आवर्तिता से $\sin x = \sin x_0$। इसलिए $x$ हल है यदि और केवल यदि $x_0$, $\alpha$ या $\pi - \alpha$ है।

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   विलोमतः, इन दोनों कुलों की प्रत्येक संख्या हल है, यह भी आवर्तिता से। ज्या के आलेख में, रेखा $y = c$ वक्र को प्रत्येक आवर्तकाल में दो बिंदुओं पर काटती है। यदि $c = 1$ या $c = -1$, तो दोनों कुल संपाती हो जाते हैं, क्योंकि $\pi - \alpha$ और $\alpha$ में $2\pi$ के एक गुणज का अंतर है, और प्रत्येक आवर्तकाल में प्रतिच्छेद का एक ही बिंदु होता है।

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   कोज्या के लिए पूरक कोणों की सममिति $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$ का, और प्रतिलोम फलनों वाले पाठ की पूरक कोणों की प्रमेय $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$ का उपयोग होता है। ऊपर का परिणाम कोण $\frac{\pi}{2} - x$ पर लागू करने से दो कुल मिलते हैं।

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   $x$ को अलग करने पर कुल $\arccos c - 2k\pi$ और $-\arccos c - 2k\pi$ हैं; चूँकि $-k$ पूर्णांकों पर चलता है जब $k$ उन पर चलता है, ये कथन वाले कुल ही हैं। वृत्त पर, बिंदु $P(\beta)$ और $P(-\beta)$, जहाँ $\beta = \arccos c$, उस ऊर्ध्वाधर रेखा के दो प्रतिच्छेद बिंदु हैं जिसका भुज $c$ है।

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   स्पर्शज्या के लिए, जिसका आवर्तकाल $\pi$ है, प्रमेयिका $p = \pi$ और $a = -\frac{\pi}{2}$ के साथ लागू होती है: यदि $x = x_0 + k\pi$ जहाँ $x_0$, $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है, जिस पर स्पर्शज्या $\mathbb{R}$ पर एकैकी आच्छादन है, तो एकमात्र हल $x_0 = \arctan c$ है; बिंदु $-\frac{\pi}{2}$ नहीं गिना जाता, क्योंकि वहाँ स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है। यदि $\abs{c} > 1$, तो न ज्या और न कोज्या मान $c$ लेती है, क्योंकि उनके मान $\icc{-1}{1}$ में हैं।

प्रमाण

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   मान लीजिए $x_1$ एक वास्तविक संख्या है। प्रमेयिका से, $p = 2\pi$ के साथ, एक अद्वितीय पूर्णांक $k$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x_1 - 2k\pi$, $\ico{a}{a + 2\pi}$ में है: संख्याओं $x_1 + 2j\pi$ का कुल, जहाँ $j$ पूर्णांक है, चक्कर में ठीक एक सदस्य रखता है।

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   मान लीजिए $\alpha = \arcsin c$, जो $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है। यदि ज्या के दोनों कुलों का कोई उभयनिष्ठ सदस्य है, तो वे एक ही कुल हैं, और यह ठीक तब होता है जब $\alpha$, $\frac{\pi}{2}$ या $-\frac{\pi}{2}$ हो, अर्थात जब $c = \pm 1$। इसलिए यदि $\abs{c} < 1$, तो दोनों कुल चक्कर को दो अलग-अलग हल देते हैं, और यदि $\abs{c} = 1$, तो केवल एक।

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   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   मान लीजिए $\beta = \arccos c$, जो $\icc{0}{\pi}$ में है। कोज्या के दोनों कुलों का उभयनिष्ठ सदस्य ठीक तब होता है जब $\beta$, $\pi$ का पूर्णांक गुणज हो, अर्थात जब $\beta$, $0$ या $\pi$ हो, जो $c = \pm 1$ के तुल्य है; गिनती वही है जो ज्या के लिए।

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   स्पर्शज्या के लिए केवल एक कुल है, जिसके क्रमागत सदस्यों के बीच का अंतर $\pi$ है, और प्रमेयिका, $p = \pi$ के साथ, उसे $\ico{a}{a + \pi}$ में ठीक एक सदस्य देती है। वह सदस्य हल है, क्योंकि $\arctan c + k\pi$ कभी $\frac{\pi}{2} + j\pi$ के रूप का नहीं होता, जहाँ स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है: $\arctan c$, $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है।