दो रेखाओं के बीच का कोण और त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

प्रमाण

1. 1
   $$\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}$$

   मान लीजिए $r$ झुकाव कोण $\alpha$ वाली रेखा है और $r_0$ मूलबिंदु से होकर जाने वाली उसकी समांतर रेखा है। झुकाव कोण की परिभाषा से, $r_0$ में कोण $\alpha$ की अंतिम भुजा है, और विशेष रूप से बिंदु $P(\alpha)$। यदि $r$ ऊर्ध्वाधर नहीं है, तो $r_0$ की प्रवणता वही है, क्योंकि पाठ्यक्रम I के रेखा के समीकरण वाले पाठ के अनुसार दो समांतर रेखाओं की प्रवणता बराबर होती है। आकृति में $\alpha = \frac{\pi}{3}$।

2. 2
   $$0 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$$

   रेखा $r_0$ तब और केवल तब ऊर्ध्वाधर है जब उसके दोनों बिंदुओं के भुज बराबर हों, अर्थात् $\cos \alpha = 0$; $\ico{0}{\pi}$ में कोज्या का एकमात्र शून्य $\frac{\pi}{2}$ है। और $r$ ठीक तब ऊर्ध्वाधर है जब उसकी समांतर रेखा ऊर्ध्वाधर हो।

3. 3
   $$m = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}$$

   यदि $r$ ऊर्ध्वाधर नहीं है, तो उसकी प्रवणता $r_0$ की प्रवणता है, अर्थात् उसके दोनों बिंदुओं की कोटियों के अंतर और भुजों के अंतर का भागफल।

4. 4
   $$\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}$$

   विलोमतः, मान लीजिए $m$, $r$ की प्रवणता है। अभी सिद्ध किए गए से, झुकाव कोण $\alpha$, $\ico{0}{\pi}$ में स्थित वह कोण है जिसकी स्पर्शज्या $m$ है। त्रिकोणमितीय समीकरण वाले पाठ के अनुसार, स्पर्शज्या $m$ वाले कोण संख्याएँ $\arctan m + k\pi$ हैं, और उनमें से ठीक एक $\ico{0}{\pi}$ में है। चूँकि $\arctan m$, $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में है, वह कोण $\arctan m$ है यदि $m \ge 0$, और $\pi + \arctan m$ यदि $m < 0$। आकृति में रेखा $y = -x$ का झुकाव कोण $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ है।