Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Angvlvs dvarvm rectarvm et vsvs trigonometriae

Svmmarivm

Haec lectio trigonometria metitvr angvlvm qvem dvae rectae plani efficivnt. Inclinationem rectae definit et demonstrat eivs tangentem declivitatem esse; formvla tangentis differentiae tangentem angvli dvarvm rectarvm ex earvm declivitatibvs obtinet, qvae condicionem perpendicvlaritatis vt casvm specialem continet, et prodvcto scalari alteram expressionem praebet, rectis qvoqve verticalibvs validam, cvivs cvm prima consensvs identitas Lagrangiana est. Deinde bisectrices dvarvm rectarvm vt locvm geometricvm pvnctorvm ab vtraqve aeqve distantivm describit, demonstrat eas perpendicvlares esse et per eas incentrvm et circvmferentiam inscriptam triangvli obtinet. Vltima sectio vsvs colligit: altitvdinem pvncti inaccessi per theorema sinvvm, motvm harmonicvm simplicem vt vmbram motvs circvlaris vniformis, spativm iactvs proiectilis, qvod ad 45∘45^\circ maximvm est et idem pro angvlis complementaribvs, et legem reflexionis vt proprietatem viae brevissimae.

Proposita discendi

  1. Inclinationem rectae et angvlvm dvarvm rectarvm ex earvm declivitatibvs vel ex earvm vectoribvs directionis compvtare, et parallelismvm perpendicvlaritatemqve vt casvs extremos agnoscere.
  2. Aeqvationes bisectricvm dvarvm rectarvm vt locvm pvnctorvm aeqve distantivm obtinere, bisectricem interiorem triangvli eligere eivsqve incentrvm et circvmferentiam inscriptam compvtare.
  3. Problemata altitvdinvm et distantiarvm cvm angvlis elevationis et depressionis solvere, theorema sinvvm cvm formvlis additionis et svbtractionis conivngendo.
  4. Motvm harmonicvm simplicem, spativm iactvs proiectilis et reflexionem lvcis fvnctionibvs trigonometricis describere, eorvmqve proprietates ex identitatibvs hvivs partis dedvcere.

Inclinatio rectae

In lectione cvrsvs I de aeqvatione rectae directio rectae non verticalis nvmero mensa est, eivs declivitate, et demonstratvm est dvas rectas non verticales perpendicvlares esse si et solvm si prodvctvm earvm declivitatvm est −1-1. Haec condicio angvlvm qvendam singvlarem, rectvm, agnoscit nvllo angvlo mensvrato. In lectione de rationibvs trigonometricis praeterea visvm est tangentem angvli esse declivitatem rectae qvae eivs latvs terminale continet. Qvod si ita est, declivitas tangens angvli est, et angvli inter rectas trigonometria compvtari possvnt oportet.

Inclinatio rectae est angvlvs α\alpha, cvm 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, qvem semiaxis positivvs abscissarvm cvm recta efficit, contra motvm horologii ab axe ad rectam mensvs. Rectae horizontales inclinationem 00 habent, verticales inclinationem π2\frac{\pi}{2}.

Accvrativs, parallela rectae per originem dvcta latvs terminale cvivsdam angvli α\alpha continet, atqve etiam latvs angvli α+π\alpha + \pi, qvia pvncta P(α)P(\alpha) et P(α+π)P(\alpha + \pi) circvmferentiae vnitariae opposita svnt; vnvs ex angvlis formae α+kπ\alpha + k\pi in [0,π)\ico{0}{\pi} iacet, isqve est inclinatio. Dvae rectae parallelae svnt vel congrvvnt si et solvm si eandem inclinationem habent, qvia tvnc, et solvm tvnc, eandem parallelam per originem habent.

LemmaInclinatio et declivitas

Recta inclinationis α\alpha verticalis est si et solvm si α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; si verticalis non est, eivs declivitas est tangens eivs inclinationis. Vicissim, inclinatio rectae declivitatis mm est arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, et π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Omnia in parallela rectae per originem dvcta legvntvr, qvae pvnctvm P(α)P(\alpha) circvmferentiae vnitariae continet. Figvra rectas y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 et y=−xy = -x adhibet.

Demonstratio

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Sit rr recta inclinationis α\alpha, et sit r0r_0 eivs parallela per originem. Ex definitione inclinationis, r0r_0 latvs terminale angvli α\alpha continet, et praesertim pvnctvm P(α)P(\alpha); si rr verticalis non est, r0r_0 eandem declivitatem habet, qvia dvae rectae parallelae eandem declivitatem habent, vt in lectione cvrsvs I de aeqvatione rectae ostensvm est. In figvra, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    Recta r0r_0 verticalis est si et solvm si eivs dvo pvncta eandem abscissam habent, id est si cos⁡α=0\cos \alpha = 0. In [0,π)\ico{0}{\pi} vnica radix cosinvs est π2\frac{\pi}{2}; et rr verticalis est tvm demvm cvm eivs parallela verticalis est.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Si rr verticalis non est, eivs declivitas est declivitas rectae r0r_0, qvae est qvotiens differentiae ordinatarvm et differentiae abscissarvm eivs dvorvm pvnctorvm.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Vicissim, sit mm declivitas rectae rr. Ex gradv svperiore, inclinatio α\alpha est angvlvs intervalli [0,π)\ico{0}{\pi} cvivs tangens est mm. Ex lectione de aeqvationibvs trigonometricis, angvli tangentis mm svnt nvmeri arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, et vnvs ex eis in [0,π)\ico{0}{\pi} iacet: cvm arctan⁡m\arctan m in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} iaceat, ille angvlvs est arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, et π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0. In figvra, recta y=−xy = -x inclinationem π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} habet.

Exempli gratia, recta y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 inclinationem arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} habet, et recta y=−xy = -x inclinationem π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Signvm declivitatis ita rectas ascendentes, inclinationis acvtae, a descendentibvs, inclinationis obtvsae, distingvit.