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Topos Uranos
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L’angolo tra due rette e applicazioni della trigonometria

Riepilogo

Questa lezione misura con la trigonometria l’angolo che formano due rette del piano. Definisce l’inclinazione di una retta e dimostra che la sua tangente è il coefficiente angolare; con la formula della tangente della differenza ottiene la tangente dell’angolo tra due rette a partire dai loro coefficienti angolari, che contiene come caso particolare la condizione di perpendicolarità, e con il prodotto scalare dà una seconda espressione, valida anche per le rette verticali, la cui coerenza con la prima è l’identità di Lagrange. Caratterizza poi le bisettrici di due rette come il luogo geometrico dei punti equidistanti da entrambe, dimostra che sono perpendicolari e ottiene con esse l’incentro e la circonferenza inscritta di un triangolo. L’ultima sezione raccoglie applicazioni: l’altezza di un punto inaccessibile mediante il teorema dei seni, il moto armonico semplice come ombra di un moto circolare uniforme, la gittata di un proiettile, che è massima a 45∘45^\circ ed è la stessa per angoli complementari, e la legge della riflessione come proprietà del cammino più breve.

Obiettivi di apprendimento

  1. Calcolare l’inclinazione di una retta e l’angolo tra due rette, a partire dai loro coefficienti angolari o dai loro vettori direttori, e riconoscere il parallelismo e la perpendicolarità come casi estremi.
  2. Ottenere le equazioni delle bisettrici di due rette come luogo geometrico di punti equidistanti, scegliere la bisettrice interna di un triangolo e calcolarne l’incentro e la circonferenza inscritta.
  3. Risolvere problemi di altezze e distanze con angoli di elevazione e di depressione, combinando il teorema dei seni con le formule di addizione e sottrazione.
  4. Descrivere il moto armonico semplice, la gittata di un proiettile e la riflessione della luce con funzioni trigonometriche, e dedurne le proprietà dalle identità di questa unità.

L’inclinazione di una retta

Nella lezione del corso I sull’equazione della retta, la direzione di una retta non verticale è stata misurata con un numero, il suo coefficiente angolare, e si è dimostrato che due rette non verticali sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1-1. Questa condizione riconosce un angolo particolare, quello retto, senza misurare alcun angolo. Nella lezione sui rapporti trigonometrici si è visto, inoltre, che la tangente di un angolo è il coefficiente angolare della retta che contiene il suo lato terminale. Se è così, il coefficiente angolare è la tangente di un angolo, e gli angoli tra rette devono potersi calcolare con la trigonometria.

L’inclinazione di una retta è l’angolo α\alpha, con 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, che il semiasse positivo delle ascisse forma con la retta, misurato in senso antiorario dall’asse alla retta. Le rette orizzontali hanno inclinazione 00, e quelle verticali, inclinazione π2\frac{\pi}{2}.

Più precisamente, la parallela alla retta condotta per l’origine contiene il lato terminale di un certo angolo α\alpha, e anche quello di α+π\alpha + \pi, perché i punti P(α)P(\alpha) e P(α+π)P(\alpha + \pi) della circonferenza goniometrica sono opposti; esattamente uno degli angoli della forma α+kπ\alpha + k\pi sta in [0,π)\ico{0}{\pi}, ed è quello l’inclinazione. Due rette sono parallele o coincidenti se e solo se hanno la stessa inclinazione, perché allora, e solo allora, hanno la stessa parallela per l’origine.

LemmaInclinazione e coefficiente angolare

Una retta di inclinazione α\alpha è verticale se e solo se α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; se non è verticale, il suo coefficiente angolare è la tangente della sua inclinazione. Viceversa, l’inclinazione di una retta di coefficiente angolare mm è arctan⁡m\arctan m se m≥0m \ge 0, e π+arctan⁡m\pi + \arctan m se m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Tutto si legge sulla parallela alla retta condotta per l’origine, che contiene il punto P(α)P(\alpha) della circonferenza goniometrica. La figura usa le rette y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 e y=−xy = -x.

Dimostrazione

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Sia rr una retta di inclinazione α\alpha, e sia r0r_0 la sua parallela per l’origine. Per la definizione dell’inclinazione, r0r_0 contiene il lato terminale di α\alpha, e in particolare il punto P(α)P(\alpha); se rr non è verticale, r0r_0 ha il suo stesso coefficiente angolare, perché due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, secondo la lezione del corso I sull’equazione della retta. Nella figura, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    La retta r0r_0 è verticale se e solo se i suoi due punti hanno la stessa ascissa, cioè se cos⁡α=0\cos \alpha = 0. In [0,π)\ico{0}{\pi}, l’unico zero del coseno è π2\frac{\pi}{2}; e rr è verticale esattamente quando lo è la sua parallela.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Se rr non è verticale, il suo coefficiente angolare è quello di r0r_0, che è il quoziente tra la differenza delle ordinate e quella delle ascisse dei suoi due punti.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Viceversa, sia mm il coefficiente angolare di rr. Per il passo appena svolto, l’inclinazione α\alpha è un angolo di [0,π)\ico{0}{\pi} la cui tangente è mm. Secondo la lezione sulle equazioni trigonometriche, gli angoli di tangente mm sono i numeri arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, ed esattamente uno di essi sta in [0,π)\ico{0}{\pi}: poiché arctan⁡m\arctan m sta in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, quell’angolo è arctan⁡m\arctan m se m≥0m \ge 0, e π+arctan⁡m\pi + \arctan m se m<0m < 0. Nella figura, la retta y=−xy = -x ha inclinazione π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Per esempio, la retta y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 ha inclinazione arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, e la retta y=−xy = -x, inclinazione π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Il segno del coefficiente angolare distingue così le rette che salgono, di inclinazione acuta, da quelle che scendono, di inclinazione ottusa.