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Topos Uranos
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Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado

Riepilogo

Questa lezione completa lo studio delle coniche con il caso rimasto in sospeso: l’equazione di secondo grado che contiene un termine in xyxy. Deduce, mediante le coordinate polari e le formule della differenza, come cambiano le coordinate di un punto quando gli assi ruotano di un angolo θ\theta, e dimostra che la rotazione conserva le distanze, in modo che non altera la forma di nessuna figura. Calcola i coefficienti dell’equazione generale dopo la rotazione, dimostra che l’angolo che soddisfa cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} elimina il termine in xyxy e che la somma A+CA + C e il discriminante B2−4ACB^2 - 4AC non cambiano con la rotazione. Ne segue la classificazione di tutte le equazioni di secondo grado mediante il segno del discriminante: ellissi, parabole e iperboli, con i loro casi degeneri. Si conclude riconoscendo come coniche ruotate l’iperbole xy=1xy = 1, un’ellisse e una parabola i cui assi sono obliqui.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dedurre le formule che legano le coordinate di un punto in due sistemi cartesiani che differiscono per una rotazione, e dimostrare che la rotazione conserva le distanze.
  2. Calcolare i coefficienti di un’equazione di secondo grado dopo una rotazione e scegliere l’angolo che elimina il termine in xyxy.
  3. Dimostrare che A+CA + C e B2−4ACB^2 - 4AC sono invarianti per rotazione e usarli per ottenere la forma ridotta senza sostituire.
  4. Classificare un’equazione generale di secondo grado mediante il segno del suo discriminante, trovarne gli elementi nelle coordinate ruotate ed esprimerli nelle coordinate originali.

La rotazione degli assi

Nella lezione del corso I sulle sezioni coniche si è dimostrato che ogni equazione di secondo grado senza termine in xyxy rappresenta una parabola, un’ellisse, un’iperbole o uno dei loro casi degeneri, i cui assi di simmetria sono paralleli agli assi coordinati. Ora, anche un’ellisse il cui asse maggiore giace sulla retta y=xy = x ha un’equazione di secondo grado, e in essa compare un termine in xyxy. Per riconoscerla conviene scegliere un altro sistema di assi, ruotato rispetto al primo, nel quale la curva recuperi la sua forma canonica. Si studia ora come cambiano le coordinate di un punto quando si ruotano gli assi.

Sia dato un sistema cartesiano di assi xx e yy, come quelli della lezione del corso I sull’equazione della retta e i sistemi cartesiani, e sia θ\theta un numero reale. Il sistema ruotato dell’angolo θ\theta è il sistema cartesiano che ha la stessa origine e la stessa unità di lunghezza, il cui semiasse positivo delle ascisse è la semiretta uscente dall’origine con angolo θ\theta in posizione standard, e il cui semiasse positivo delle ordinate è la semiretta di angolo θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. Le nuove coordinate si scrivono con le maiuscole: uno stesso punto PP ha coordinate (x,y)(x, y) nel sistema originale e (X,Y)(X, Y) in quello ruotato. Poiché i due sistemi hanno la stessa orientazione, nel sistema ruotato si definiscono anche coordinate polari, con lo stesso polo e con il semiasse positivo delle XX come asse polare.

TeoremaLe formule di rotazione

Se un punto ha coordinate (x,y)(x, y) in un sistema cartesiano e coordinate (X,Y)(X, Y) nel sistema ruotato dell’angolo θ\theta, allora le sue coordinate nuove si ottengono da quelle originali, e quelle originali dalle nuove, mediante le formule qui sotto.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

L’idea è che, in coordinate polari, ruotare gli assi non cambia la distanza dal polo e sottrae soltanto θ\theta dall’angolo polare; le formule di addizione e sottrazione, che si dimostrano nella lezione sulle formule di addizione e sottrazione, fanno il resto.

Dimostrazione

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Se PP è l’origine, le sue coordinate sono nulle in entrambi i sistemi e le formule valgono. Se non lo è, prendiamo una rappresentazione polare (r,φ)(r, \varphi) con r>0r > 0 rispetto all’asse polare originale, come nella lezione sulle coordinate polari.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    Nel sistema ruotato il polo è lo stesso, in modo che la distanza di PP dal polo è ancora rr. Sia ψ\psi un angolo polare di PP nel sistema ruotato. Sulla circonferenza goniometrica, il nuovo asse polare passa per P(θ)P(\theta); percorrere da lì un arco ψ\psi porta, per la proprietà di giustapposizione dell’assioma del percorso della lezione sugli angoli e la loro misura, a P(θ+ψ)P(\theta + \psi), che deve essere il punto P(φ)P(\varphi) della semiretta che va dal polo a PP. Per il lemma degli angoli coterminali, θ+ψ\theta + \psi e φ\varphi differiscono per un multiplo di 2π2\pi, in modo che possiamo prendere ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Sviluppiamo il coseno della differenza e riconosciamo in ciascun termine le coordinate originali.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Allo stesso modo, con il seno della differenza.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Viceversa, l’angolo originale è la somma φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta; le formule della somma danno le coordinate originali in funzione delle nuove.

Le due coppie di formule hanno la stessa struttura: la seconda si ottiene dalla prima cambiando θ\theta in −θ-\theta, perché il sistema originale è quello che risulta ruotando il nuovo dell’angolo −θ-\theta. Per esempio, con θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, il punto (1,1)(1, 1) ha coordinate nuove X=2X = \sqrt{2} e Y=0Y = 0: sta sul nuovo asse delle ascisse, a distanza 2\sqrt{2} dall’origine. Conviene non confondere la rotazione degli assi con la rotazione dei punti: ruotare gli assi dell’angolo θ\theta lascia fermi i punti e cambia i loro nomi, e il risultato è lo stesso che lasciare fermi gli assi e ruotare l’intero piano dell’angolo −θ-\theta.

LemmaLa rotazione conserva le distanze

La distanza tra due punti, calcolata con le loro coordinate nel sistema ruotato, coincide con quella calcolata con le loro coordinate originali.

Il fatto è già stato osservato nella lezione sulle coordinate polari: la distanza tra due punti dipende dai loro angoli polari solo attraverso la loro differenza, e ruotare il piano consiste nel sommare una costante a quegli angoli. Qui lo si verifica direttamente in coordinate cartesiane, con le formule di rotazione e l’identità pitagorica della lezione sui rapporti trigonometrici.

Dimostrazione

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Siano P1P_1 e P2P_2 due punti, di coordinate (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) nel sistema originale e (X1,Y1)(X_1, Y_1) e (X2,Y2)(X_2, Y_2) in quello ruotato. Sottraiamo le formule di rotazione scritte per ciascun punto, con u=x1−x2u = x_1 - x_2 e v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Eleviamo al quadrato e sommiamo. I doppi prodotti, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta e −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, si cancellano.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Per l’identità pitagorica, ciascuna parentesi vale 11, e resta il quadrato della distanza originale.

Il lemma ha una conseguenza che giustifica tutto ciò che viene dopo. La parabola, l’ellisse e l’iperbole sono state definite nelle lezioni anteriori mediante proprietà di distanze da fuochi e direttrici; poiché la rotazione conserva le distanze, una curva che nel sistema ruotato è un’ellisse di semiassi aa e bb è, vista nel sistema originale, un’ellisse con gli stessi semiassi, benché i suoi assi di simmetria siano obliqui. Lo stesso vale per le altre coniche, per i loro fuochi, i loro vertici e i loro asintoti, che si trasportano da un sistema all’altro con le formule di rotazione.