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Topos Uranos
中文 (中国)

坐标轴的旋转与一般二次方程

摘要

本课以尚未处理的情形完成对圆锥曲线的研究：含有 xyxy 项的二次方程。本课借助极坐标与两角差的公式，推导当坐标轴旋转角 θ\theta 时点的坐标如何变化，并证明旋转保持距离，因而不改变任何图形的形状。本课计算旋转后一般方程的系数，证明满足 cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} 的角消去 xyxy 项，并证明和 A+CA + C 与判别式 B2−4ACB^2 - 4AC 在旋转下不变。由此得出按判别式的符号对所有二次方程的分类：椭圆、抛物线与双曲线，以及它们的退化情形。最后把双曲线 xy=1xy = 1、一个椭圆和一条抛物线（它们的轴都是斜的）识别为旋转后的圆锥曲线。

学习目标

  1. 推导联系同一点在相差一个旋转的两个笛卡儿坐标系中的坐标的公式，并证明旋转保持距离。
  2. 计算二次方程经旋转后的系数，并选取消去 xyxy 项的角。
  3. 证明 A+CA + C 与 B2−4ACB^2 - 4AC 是旋转不变量，并用它们不经代换而得到简化形式。
  4. 按判别式的符号对一般二次方程分类，求出它在旋转后坐标中的几何要素，并把这些要素用原坐标表示。

坐标轴的旋转

课程 I 中关于圆锥曲线的课证明了：每个不含 xyxy 项的二次方程表示一条抛物线、一个椭圆、一条双曲线或它们的某种退化情形，且其对称轴平行于坐标轴。然而，长轴在直线 y=xy = x 上的椭圆也有一个二次方程，其中出现 xyxy 项。为了识别它，宜选取另一个相对于原坐标系旋转过的坐标系，使曲线在其中恢复为标准方程。本节研究坐标轴旋转时点的坐标如何变化。

设有一个笛卡儿坐标系，坐标轴为 xx 与 yy，与课程 I 中关于直线的方程与笛卡儿坐标系的课中的坐标系一样，并设 θ\theta 为实数。旋转角 θ\theta 后的坐标系是这样的笛卡儿坐标系：原点与长度单位都相同，横轴正半轴是从原点出发、处于标准位置、角为 θ\theta 的射线，纵轴正半轴是角为 θ+π2\theta + \frac{\pi}{2} 的射线。新坐标用大写字母书写：同一点 PP 在原坐标系中的坐标为 (x,y)(x, y)，在旋转后的坐标系中为 (X,Y)(X, Y)。由于两个坐标系的定向相同，在旋转后的坐标系中也定义极坐标，极点相同，并以 XX 的正半轴为极轴。

定理旋转公式

若一点在一个笛卡儿坐标系中的坐标为 (x,y)(x, y)，在旋转后的坐标系中的坐标为 (X,Y)(X, Y)（该坐标系由原坐标系旋转角 θ\theta 得到），则它的新坐标可由原坐标得出，原坐标也可由新坐标得出，所用公式如下。

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

其思想是：在极坐标中，旋转坐标轴不改变到极点的距离，只是从极角中减去 θ\theta；其余的工作由两角和与差公式完成，这些公式在关于两角和与差公式的课中证明。

证明

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    若 PP 是原点，则它在两个坐标系中的坐标都为零，公式成立。若不是，则取相对于原极轴的一个极坐标表示 (r,φ)(r, \varphi)，其中 r>0r > 0，如关于极坐标的课中那样。

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    在旋转后的坐标系中极点不变，因此 PP 到极点的距离仍为 rr。设 ψ\psi 是 PP 在旋转后的坐标系中的一个极角。在单位圆上，新极轴经过 P(θ)P(\theta)；从那里走过弧 ψ\psi，根据关于角及其度量的课中按弧长行进的公理的接续性质，到达 P(θ+ψ)P(\theta + \psi)，它必定是点 P(φ)P(\varphi)（位于从极点到 PP 的射线上）。由关于终边相同的角的引理，θ+ψ\theta + \psi 与 φ\varphi 相差 2π2\pi 的一个倍数，因此可以取 ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta。

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    展开差的余弦，并在每一项中认出原坐标。

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    同样地，用差的正弦。

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    反过来，原来的角是和 φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta；两角和的公式用新坐标给出原坐标。

两组公式结构相同：第二组可由第一组把 θ\theta 换成 −θ-\theta 得到，因为原坐标系就是把新坐标系旋转角 −θ-\theta 所得的坐标系。例如，取 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}，点 (1,1)(1, 1) 的新坐标为 X=2X = \sqrt{2} 与 Y=0Y = 0：它在新的横轴上，到原点的距离为 2\sqrt{2}。不要把坐标轴的旋转与点的旋转混淆：把坐标轴旋转角 θ\theta 时，点保持不动而名称改变，其结果与保持坐标轴不动、把整个平面旋转角 −θ-\theta 相同。

引理旋转保持距离

两点之间的距离，用它们在旋转后的坐标系中的坐标计算，与用它们的原坐标计算的结果相同。

这一事实在关于极坐标的课中已经指出：两点之间的距离只通过两点极角之差依赖于极角，而旋转平面就是给这些角都加同一个常数。这里直接在笛卡儿坐标中验证，用的是旋转公式和关于三角比的课中的平方关系。

证明

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    设 P1P_1 与 P2P_2 为两点，在原坐标系中的坐标为 (x1,y1)(x_1, y_1) 与 (x2,y2)(x_2, y_2)，在旋转后的坐标系中为 (X1,Y1)(X_1, Y_1) 与 (X2,Y2)(X_2, Y_2)。把对每个点写出的旋转公式相减，并记 u=x1−x2u = x_1 - x_2，v=y1−y2v = y_1 - y_2。

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    平方后相加。两倍乘积项 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta 与 −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta 相互抵消。

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    由平方关系，每个括号都等于 11，剩下原距离的平方。

这个引理有一个推论，它为后面的全部内容提供依据。抛物线、椭圆与双曲线在前面的课中由到焦点与准线的距离的性质定义；由于旋转保持距离，一条在旋转后的坐标系中是半轴为 aa 与 bb 的椭圆的曲线，在原坐标系中看来也是具有相同半轴的椭圆，尽管它的对称轴是斜的。其他圆锥曲线以及它们的焦点、顶点与渐近线也是如此，它们借助旋转公式从一个坐标系转移到另一个坐标系。