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Topos Uranos
Deutsch

Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Untersuchung der Kegelschnitte mit dem Fall ab, der offengeblieben war: der Gleichung zweiten Grades, die einen Term mit xyxy enthält. Sie leitet mithilfe der Polarkoordinaten und der Formeln für die Differenz her, wie sich die Koordinaten eines Punktes ändern, wenn die Achsen um einen Winkel θ\theta gedreht werden, und beweist, dass die Drehung die Abstände erhält, sodass sie die Gestalt keiner Figur verändert. Sie berechnet die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung nach der Drehung und beweist, dass der Winkel, der cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} erfüllt, den Term mit xyxy eliminiert und dass die Summe A+CA + C und die Diskriminante B2−4ACB^2 - 4AC sich bei der Drehung nicht ändern. Daraus folgt die Klassifikation aller Gleichungen zweiten Grades nach dem Vorzeichen der Diskriminante: Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit ihren ausgearteten Fällen. Zum Schluss erkennt sie als gedrehte Kegelschnitte die Hyperbel xy=1xy = 1, eine Ellipse und eine Parabel, deren Achsen schräg liegen.

Lernziele

  1. Die Formeln herleiten, die die Koordinaten eines Punktes in zwei kartesischen Systemen verbinden, die sich um eine Drehung unterscheiden, und beweisen, dass die Drehung die Abstände erhält.
  2. Die Koeffizienten einer Gleichung zweiten Grades nach einer Drehung berechnen und den Winkel wählen, der den Term mit xyxy eliminiert.
  3. Beweisen, dass A+CA + C und B2−4ACB^2 - 4AC invariant unter Drehung sind, und sie verwenden, um die reduzierte Form ohne Einsetzen zu erhalten.
  4. Eine allgemeine Gleichung zweiten Grades nach dem Vorzeichen ihrer Diskriminante klassifizieren, ihre Bestimmungsstücke in den gedrehten Koordinaten bestimmen und sie in den ursprünglichen Koordinaten ausdrücken.

Die Drehung der Achsen

In der Lektion von Kurs I über Kegelschnitte wurde bewiesen, dass jede Gleichung zweiten Grades ohne Term mit xyxy eine Parabel, eine Ellipse, eine Hyperbel oder einen ihrer ausgearteten Fälle darstellt, deren Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen sind. Nun hat aber auch eine Ellipse, deren große Achse auf der Geraden y=xy = x liegt, eine Gleichung zweiten Grades, und in ihr tritt ein Term mit xyxy auf. Um sie zu erkennen, wählt man zweckmäßig ein anderes Achsensystem, gegenüber dem ersten gedreht, in dem die Kurve wieder ihre Normalform annimmt. Im Folgenden wird untersucht, wie sich die Koordinaten eines Punktes ändern, wenn man die Achsen dreht.

Es sei ein kartesisches System mit den Achsen xx und yy gegeben, wie in der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme, und es sei θ\theta eine reelle Zahl. Das um den Winkel θ\theta gedrehte System ist das kartesische System mit demselben Ursprung und derselben Längeneinheit, dessen positive Halbachse der Abszissen die vom Ursprung ausgehende Halbgerade mit dem Winkel θ\theta in Standardlage ist und dessen positive Halbachse der Ordinaten die Halbgerade mit dem Winkel θ+π2\theta + \frac{\pi}{2} ist. Die neuen Koordinaten werden mit Großbuchstaben geschrieben: Ein und derselbe Punkt PP hat die Koordinaten (x,y)(x, y) im ursprünglichen System und (X,Y)(X, Y) im gedrehten. Da die beiden Systeme dieselbe Orientierung haben, definiert man auch im gedrehten System Polarkoordinaten, mit demselben Pol und mit der positiven Halbachse von XX als Polarachse.

SatzDie Drehformeln

Hat ein Punkt die Koordinaten (x,y)(x, y) in einem kartesischen System und die Koordinaten (X,Y)(X, Y) in dem um den Winkel θ\theta gedrehten System, so erhält man seine neuen Koordinaten aus den ursprünglichen und die ursprünglichen aus den neuen mit den folgenden Formeln.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

Die Idee ist, dass das Drehen der Achsen in Polarkoordinaten den Abstand zum Pol nicht ändert und nur θ\theta vom Polarwinkel abzieht; die Additionstheoreme, die in der Lektion über die Additionstheoreme bewiesen werden, erledigen den Rest.

Beweis

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Ist PP der Ursprung, so sind seine Koordinaten in beiden Systemen null, und die Formeln gelten. Andernfalls nehmen wir eine Polardarstellung (r,φ)(r, \varphi) mit r>0r > 0 bezüglich der ursprünglichen Polarachse, wie in der Lektion über Polarkoordinaten.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    Im gedrehten System ist der Pol derselbe, sodass der Abstand von PP zum Pol nach wie vor rr ist. Es sei ψ\psi ein Polarwinkel von PP im gedrehten System. Auf dem Einheitskreis geht die neue Polarachse durch P(θ)P(\theta); durchläuft man von dort einen Bogen ψ\psi, so gelangt man nach der Eigenschaft des Aneinanderfügens aus dem Axiom des Durchlaufens der Lektion über Winkel und ihre Messung zu P(θ+ψ)P(\theta + \psi), der der Punkt P(φ)P(\varphi) der Halbgeraden sein muss, die vom Pol nach PP führt. Nach dem Lemma über Winkel mit gleichem Endschenkel unterscheiden sich θ+ψ\theta + \psi und φ\varphi um ein Vielfaches von 2π2\pi, sodass wir ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta wählen können.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Wir entwickeln den Kosinus der Differenz und erkennen in jedem Term die ursprünglichen Koordinaten.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Ebenso mit dem Sinus der Differenz.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Umgekehrt ist der ursprüngliche Winkel die Summe φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta; die Formeln für die Summe liefern die ursprünglichen Koordinaten in Abhängigkeit von den neuen.

Die beiden Formelpaare haben dieselbe Struktur: Das zweite erhält man aus dem ersten, indem man θ\theta durch −θ-\theta ersetzt, weil das ursprüngliche System aus dem neuen durch Drehung um den Winkel −θ-\theta hervorgeht. Zum Beispiel hat bei θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} der Punkt (1,1)(1, 1) die neuen Koordinaten X=2X = \sqrt{2} und Y=0Y = 0: Er liegt auf der neuen Abszissenachse, im Abstand 2\sqrt{2} vom Ursprung. Man darf die Drehung der Achsen nicht mit der Drehung der Punkte verwechseln: Dreht man die Achsen um den Winkel θ\theta, so bleiben die Punkte fest und ändern ihre Namen, und das Ergebnis ist dasselbe, wie wenn man die Achsen festhält und die ganze Ebene um den Winkel −θ-\theta dreht.

LemmaDie Drehung erhält die Abstände

Der Abstand zweier Punkte, berechnet mit ihren Koordinaten im gedrehten System, stimmt mit dem überein, der mit ihren ursprünglichen Koordinaten berechnet wird.

Die Tatsache wurde bereits in der Lektion über Polarkoordinaten beobachtet: Der Abstand zweier Punkte hängt von ihren Polarwinkeln nur über deren Differenz ab, und die Ebene drehen heißt, zu diesen Winkeln eine Konstante addieren. Hier wird es direkt in kartesischen Koordinaten nachgeprüft, mit den Drehformeln und der pythagoreischen Identität aus der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse.

Beweis

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Es seien P1P_1 und P2P_2 zwei Punkte mit den Koordinaten (x1,y1)(x_1, y_1) und (x2,y2)(x_2, y_2) im ursprünglichen System und (X1,Y1)(X_1, Y_1) und (X2,Y2)(X_2, Y_2) im gedrehten. Wir subtrahieren die für jeden Punkt geschriebenen Drehformeln, mit u=x1−x2u = x_1 - x_2 und v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Wir quadrieren und addieren. Die gemischten Produkte, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta und −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, heben sich weg.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Nach der pythagoreischen Identität ist jede Klammer gleich 11, und es bleibt das Quadrat des ursprünglichen Abstands.

Das Lemma hat eine Folgerung, die alles Folgende rechtfertigt. Die Parabel, die Ellipse und die Hyperbel wurden in den früheren Lektionen durch Eigenschaften von Abständen zu Brennpunkten und Leitlinien definiert; da die Drehung die Abstände erhält, ist eine Kurve, die im gedrehten System eine Ellipse mit den Halbachsen aa und bb ist, im ursprünglichen System betrachtet eine Ellipse mit denselben Halbachsen, auch wenn ihre Symmetrieachsen schräg liegen. Dasselbe gilt für die anderen Kegelschnitte, für ihre Brennpunkte, ihre Scheitel und ihre Asymptoten, die mit den Drehformeln von einem System ins andere übertragen werden.