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Topos Uranos
Deutsch

Schnittwinkel zweier Geraden und Anwendungen der Trigonometrie

Zusammenfassung

Diese Lektion misst mit der Trigonometrie den Winkel, den zwei Geraden der Ebene bilden. Sie definiert den Steigungswinkel einer Geraden und beweist, dass sein Tangens die Steigung ist; mit der Formel für den Tangens einer Differenz gewinnt sie den Tangens des Schnittwinkels zweier Geraden aus ihren Steigungen, der die Orthogonalitätsbedingung als Sonderfall enthält, und mit dem Skalarprodukt gibt sie einen zweiten Ausdruck an, der auch für vertikale Geraden gilt und dessen Übereinstimmung mit dem ersten die Lagrange-Identität ist. Danach kennzeichnet sie die Winkelhalbierenden zweier Geraden als den geometrischen Ort der Punkte, die von beiden gleich weit entfernt sind, beweist, dass sie senkrecht aufeinander stehen, und gewinnt mit ihnen den Inkreismittelpunkt und den Inkreis eines Dreiecks. Zum Schluss werden Anwendungen zusammengestellt: die Höhe eines unzugänglichen Punktes mithilfe des Sinussatzes, die harmonische Schwingung als Schatten einer gleichförmigen Kreisbewegung, die Wurfweite eines Geschosses, die bei 45∘45^\circ am größten und für Komplementwinkel gleich ist, und das Reflexionsgesetz als Eigenschaft des kürzesten Weges.

Lernziele

  1. Den Steigungswinkel einer Geraden und den Schnittwinkel zweier Geraden aus ihren Steigungen oder aus ihren Richtungsvektoren berechnen und Parallelität und Orthogonalität als Grenzfälle erkennen.
  2. Die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden als geometrischen Ort gleich weit entfernter Punkte gewinnen, die Innenwinkelhalbierende eines Dreiecks auswählen und seinen Inkreismittelpunkt und seinen Inkreis berechnen.
  3. Aufgaben über Höhen und Entfernungen mit Höhen- und Tiefenwinkeln lösen und dabei den Sinussatz mit den Additionstheoremen verbinden.
  4. Die harmonische Schwingung, die Wurfweite eines Geschosses und die Reflexion des Lichts mit trigonometrischen Funktionen beschreiben und ihre Eigenschaften aus den Identitäten dieser Einheit herleiten.

Der Steigungswinkel einer Geraden

In der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung wurde die Richtung einer nicht vertikalen Geraden durch eine Zahl gemessen, ihre Steigung, und es wurde bewiesen, dass zwei nicht vertikale Geraden genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1-1 ist. Diese Bedingung erkennt einen besonderen Winkel, den rechten, ohne irgendeinen Winkel zu messen. In der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse wurde außerdem gezeigt, dass der Tangens eines Winkels die Steigung der Geraden ist, die seinen Endschenkel enthält. Wenn dem so ist, ist die Steigung der Tangens eines Winkels, und die Winkel zwischen Geraden müssen sich mit der Trigonometrie berechnen lassen.

Der Steigungswinkel einer Geraden ist der Winkel α\alpha mit 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, den die positive waagerechte Halbachse mit der Geraden bildet, gegen den Uhrzeigersinn von der Achse zur Geraden gemessen. Waagerechte Geraden haben den Steigungswinkel 00, vertikale den Steigungswinkel π2\frac{\pi}{2}.

Genauer: Die Parallele zur Geraden durch den Ursprung enthält den Endschenkel eines Winkels α\alpha und auch den von α+π\alpha + \pi, weil die Punkte P(α)P(\alpha) und P(α+π)P(\alpha + \pi) des Einheitskreises einander gegenüberliegen; genau einer der Winkel der Form α+kπ\alpha + k\pi liegt in [0,π)\ico{0}{\pi}, und dieser ist der Steigungswinkel. Zwei Geraden sind genau dann parallel oder fallen zusammen, wenn sie denselben Steigungswinkel haben, denn dann, und nur dann, haben sie dieselbe Parallele durch den Ursprung.

LemmaSteigungswinkel und Steigung

Eine Gerade mit dem Steigungswinkel α\alpha ist genau dann vertikal, wenn α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} gilt; ist sie nicht vertikal, so ist ihre Steigung der Tangens ihres Steigungswinkels. Umgekehrt ist der Steigungswinkel einer Geraden mit der Steigung mm gleich arctan⁡m\arctan m, falls m≥0m \ge 0, und gleich π+arctan⁡m\pi + \arctan m, falls m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Alles lässt sich an der Parallelen zur Geraden durch den Ursprung ablesen, die den Punkt P(α)P(\alpha) des Einheitskreises enthält. Die Abbildung verwendet die Geraden y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 und y=−xy = -x.

Beweis

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Sei rr eine Gerade mit dem Steigungswinkel α\alpha, und sei r0r_0 ihre Parallele durch den Ursprung. Nach der Definition des Steigungswinkels enthält r0r_0 den Endschenkel von α\alpha und insbesondere den Punkt P(α)P(\alpha); ist rr nicht vertikal, so hat r0r_0 dieselbe Steigung, denn zwei parallele Geraden haben nach der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung dieselbe Steigung. In der Abbildung ist α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    Die Gerade r0r_0 ist genau dann vertikal, wenn ihre beiden Punkte dieselbe Abszisse haben, das heißt, wenn cos⁡α=0\cos \alpha = 0 gilt. In [0,π)\ico{0}{\pi} ist die einzige Nullstelle des Kosinus π2\frac{\pi}{2}; und rr ist genau dann vertikal, wenn ihre Parallele es ist.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Ist rr nicht vertikal, so ist ihre Steigung die von r0r_0, also der Quotient aus der Differenz der Ordinaten und der der Abszissen ihrer beiden Punkte.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Umgekehrt sei mm die Steigung von rr. Nach dem obigen Schritt ist der Steigungswinkel α\alpha ein Winkel aus [0,π)\ico{0}{\pi}, dessen Tangens mm ist. Nach der Lektion über trigonometrische Gleichungen sind die Winkel mit dem Tangens mm die Zahlen arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, und genau eine davon liegt in [0,π)\ico{0}{\pi}: Da arctan⁡m\arctan m in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} liegt, ist dieser Winkel arctan⁡m\arctan m, falls m≥0m \ge 0, und π+arctan⁡m\pi + \arctan m, falls m<0m < 0. In der Abbildung hat die Gerade y=−xy = -x den Steigungswinkel π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Zum Beispiel hat die Gerade y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 den Steigungswinkel arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} und die Gerade y=−xy = -x den Steigungswinkel π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Das Vorzeichen der Steigung unterscheidet so die steigenden Geraden mit spitzem Steigungswinkel von den fallenden mit stumpfem Steigungswinkel.