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Topos Uranos
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좌표축의 회전과 일반 이차방정식

요약

이 수업은 남아 있던 경우, 곧 xyxy항을 포함하는 이차방정식으로 이차곡선의 연구를 마무리한다. 극좌표와 덧셈정리(차의 공식)를 이용하여 축이 각 θ\theta만큼 회전할 때 점의 좌표가 어떻게 바뀌는지 유도하고, 회전이 거리를 보존하므로 어떤 도형의 모양도 바꾸지 않음을 증명한다. 회전 후 일반 방정식의 계수를 계산하고, cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}을 만족하는 각이 xyxy항을 소거하며 합 A+CA + C와 판별식 B2−4ACB^2 - 4AC가 회전으로 바뀌지 않음을 증명한다. 이로부터 판별식의 부호에 의한 모든 이차방정식의 분류가 따라 나온다. 곧 타원, 포물선, 쌍곡선과 그 퇴화한 경우이다. 끝으로 쌍곡선 xy=1xy = 1, 그리고 축이 비스듬한 타원과 포물선을 회전한 이차곡선으로 알아본다.

학습 목표

  1. 회전만큼 차이 나는 두 직교좌표계에서 한 점의 좌표를 연결하는 공식을 유도하고, 회전이 거리를 보존함을 증명한다.
  2. 회전 후 이차방정식의 계수를 계산하고 xyxy항을 소거하는 각을 고른다.
  3. A+CA + C와 B2−4ACB^2 - 4AC가 회전의 불변량임을 증명하고, 이를 이용하여 대입하지 않고 축약형을 얻는다.
  4. 일반 이차방정식을 판별식의 부호로 분류하고, 회전한 좌표에서 그 요소를 구하여 원래 좌표로 나타낸다.

좌표축의 회전

강좌 I의 원뿔곡선에 관한 수업에서, xyxy항이 없는 이차방정식은 모두 포물선, 타원, 쌍곡선 또는 그 퇴화한 경우 중 하나를 나타내며 그 대칭축은 좌표축에 평행함을 증명했다. 그런데 장축이 직선 y=xy = x 위에 있는 타원도 이차방정식을 가지며, 그 방정식에는 xyxy항이 나타난다. 이 타원을 알아보려면 처음 좌표계에 대하여 회전한 다른 좌표계를 골라, 그 안에서 곡선이 표준형을 되찾게 하는 것이 좋다. 이 절에서는 축을 회전할 때 점의 좌표가 어떻게 바뀌는지 살펴본다.

축이 xx와 yy인 직교좌표계를 강좌 I의 직선의 방정식과 직교좌표계에 관한 수업에서처럼 잡고, θ\theta를 실수라 하자. 각 θ\theta만큼 회전한 좌표계란 원점과 길이의 단위가 같고, 가로축의 양의 반축이 원점에서 출발하여 표준 위치에서 각 θ\theta를 이루는 반직선이며, 세로축의 양의 반축이 각 θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}의 반직선인 직교좌표계이다. 새 좌표는 대문자로 쓴다. 같은 점 PP는 원래 좌표계에서 좌표 (x,y)(x, y)를, 회전한 좌표계에서 좌표 (X,Y)(X, Y)를 가진다. 두 좌표계는 향이 같으므로 회전한 좌표계에서도 극좌표가 정의되며, 극은 같고 XX의 양의 반축을 시초선으로 한다.

정리회전 공식

한 점이 직교좌표계에서 좌표 (x,y)(x, y)를, 회전한 좌표계에서 좌표 (X,Y)(X, Y)를 가지면(회전의 각은 θ\theta), 새 좌표는 원래 좌표로부터, 원래 좌표는 새 좌표로부터 아래 공식으로 얻어진다.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

핵심은, 극좌표에서 축의 회전은 극까지의 거리를 바꾸지 않고 편각에서 θ\theta를 빼기만 한다는 것이다. 나머지는 덧셈정리에 관한 수업에서 증명하는 덧셈정리가 맡는다.

증명

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    PP가 원점이면 그 좌표는 두 좌표계에서 모두 영이고 공식이 성립한다. 그렇지 않으면 원래 시초선에 대한 극좌표 표현 (r,φ)(r, \varphi)(단, r>0r > 0)를 극좌표에 관한 수업에서처럼 잡는다.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    회전한 좌표계에서도 극은 같으므로 PP에서 극까지의 거리는 여전히 rr이다. ψ\psi를 회전한 좌표계에서 PP의 한 편각이라 하자. 단위원 위에서 새 시초선은 P(θ)P(\theta)를 지난다. 거기서 호 ψ\psi를 따라가면, 각과 그 측정에 관한 수업의 호의 길이에 따른 이동의 공리의 이어 붙이기 성질에 의해 P(θ+ψ)P(\theta + \psi)에 이르고, 이것은 점 P(φ)P(\varphi)(극에서 PP로 가는 반직선 위의 점)이어야 한다. 동경이 같은 각에 관한 보조정리에 의해 θ+ψ\theta + \psi와 φ\varphi는 2π2\pi의 배수만큼 차이 나므로 ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta으로 잡을 수 있다.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    차의 코사인을 전개하고 각 항에서 원래 좌표를 알아본다.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    같은 방법으로, 차의 사인을 이용한다.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    거꾸로, 원래 각은 합 φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta이다. 합의 공식이 원래 좌표를 새 좌표로 나타낸다.

두 쌍의 공식은 구조가 같다. 둘째 쌍은 첫째 쌍에서 θ\theta를 −θ-\theta로 바꾸면 얻어지는데, 원래 좌표계는 새 좌표계를 각 −θ-\theta만큼 회전한 것이기 때문이다. 예를 들어 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}일 때 점 (1,1)(1, 1)의 새 좌표는 X=2X = \sqrt{2}과 Y=0Y = 0이다. 이 점은 새 가로축 위에 있고, 원점에서 거리 2\sqrt{2}만큼 떨어져 있다. 축의 회전과 점의 회전을 혼동해서는 안 된다. 축을 각 θ\theta만큼 회전하면 점은 움직이지 않고 이름만 바뀌며, 그 결과는 축을 그대로 두고 평면 전체를 각 −θ-\theta만큼 회전한 것과 같다.

보조정리회전은 거리를 보존한다

두 점 사이의 거리는 회전한 좌표계에서의 좌표로 계산하든 원래 좌표로 계산하든 같다.

이 사실은 극좌표에 관한 수업에서 이미 보았다. 두 점 사이의 거리는 편각의 차를 통해서만 편각에 의존하고, 평면의 회전은 그 각들에 상수를 더하는 것이다. 여기서는 회전 공식과 삼각비에 관한 수업의 피타고라스 항등식으로 직교좌표에서 직접 확인한다.

증명

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    P1P_1과 P2P_2를 두 점이라 하고, 그 좌표를 원래 좌표계에서 (x1,y1)(x_1, y_1)과 (x2,y2)(x_2, y_2), 회전한 좌표계에서 (X1,Y1)(X_1, Y_1)과 (X2,Y2)(X_2, Y_2)이라 하자. 각 점에 대하여 쓴 회전 공식을 변끼리 빼고 u=x1−x2u = x_1 - x_2, v=y1−y2v = y_1 - y_2로 놓는다.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    제곱하여 더한다. 두 배의 곱 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta와 −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta는 서로 상쇄된다.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    피타고라스 항등식에 의해 각 괄호는 11과 같고, 원래 거리의 제곱이 남는다.

이 보조정리에는 이후의 모든 내용을 정당화하는 결과가 있다. 포물선, 타원, 쌍곡선은 앞선 수업들에서 초점과 준선까지의 거리의 성질로 정의되었다. 회전은 거리를 보존하므로, 회전한 좌표계에서 반축이 aa와 bb인 타원인 곡선은 원래 좌표계에서 보아도 같은 반축을 가진 타원이다(대칭축은 비스듬하더라도). 다른 이차곡선과 그 초점, 꼭짓점, 점근선도 마찬가지이며, 이들은 회전 공식으로 한 좌표계에서 다른 좌표계로 옮겨진다.