सामग्री पर जाएँ
Topos Uranos
हिन्दी

अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण

सारांश

यह पाठ शांकवों का अध्ययन उस स्थिति से पूरा करता है जो शेष रह गई थी: द्वितीय घात का वह समीकरण जिसमें xyxy वाला पद है। यह ध्रुवीय निर्देशांकों और अंतर के सूत्रों की सहायता से निकालता है कि जब अक्ष कोण θ\theta से घूमते हैं तब किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे बदलते हैं, और सिद्ध करता है कि घूर्णन दूरियों को संरक्षित रखता है, जिससे वह किसी भी आकृति का आकार नहीं बदलता। यह घूर्णन के बाद व्यापक समीकरण के गुणांकों की गणना करता है, सिद्ध करता है कि जो कोण cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} को संतुष्ट करता है वह xyxy वाले पद को हटा देता है, और कि योग A+CA + C तथा विविक्तकर B2−4ACB^2 - 4AC घूर्णन से नहीं बदलते। इससे विविक्तकर के चिह्न द्वारा द्वितीय घात के सभी समीकरणों का वर्गीकरण प्राप्त होता है: दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय, अपनी अपभ्रष्ट स्थितियों सहित। अंत में यह अतिपरवलय xy=1xy = 1, तथा तिरछे अक्षों वाले एक दीर्घवृत्त और एक परवलय को घूर्णित शांकवों के रूप में पहचानता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. उन सूत्रों को निकालना जो केवल एक घूर्णन से अलग दो कार्तीय निकायों में किसी बिंदु के निर्देशांकों को जोड़ते हैं, और सिद्ध करना कि घूर्णन दूरियों को संरक्षित रखता है।
  2. घूर्णन के बाद द्वितीय घात के समीकरण के गुणांकों की गणना करना और वह कोण चुनना जो xyxy वाले पद को हटा देता है।
  3. सिद्ध करना कि A+CA + C और B2−4ACB^2 - 4AC घूर्णन के निश्चर हैं, और उनका उपयोग करके बिना प्रतिस्थापन के समानीत रूप प्राप्त करना।
  4. द्वितीय घात के व्यापक समीकरण का उसके विविक्तकर के चिह्न द्वारा वर्गीकरण करना, घूर्णित निर्देशांकों में उसके अवयव ज्ञात करना और उन्हें प्रारंभिक निर्देशांकों में व्यक्त करना।

अक्षों का घूर्णन

पाठ्यक्रम I के शांकव वाले पाठ में सिद्ध किया गया कि द्वितीय घात का प्रत्येक समीकरण जिसमें xyxy वाला पद नहीं है, एक परवलय, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय या उनकी किसी अपभ्रष्ट स्थिति को निरूपित करता है, जिसके सममिति अक्ष निर्देशांक अक्षों के समांतर होते हैं। परंतु जिस दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष रेखा y=xy = x पर है, उसका भी द्वितीय घात का एक समीकरण होता है, और उसमें xyxy वाला पद प्रकट होता है। उसे पहचानने के लिए अक्षों का एक अन्य निकाय चुनना उपयोगी है, जो पहले के सापेक्ष घूमा हुआ हो और जिसमें वक्र अपना मानक रूप पुनः प्राप्त कर ले। यह भाग अध्ययन करता है कि अक्षों के घूमने पर किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे बदलते हैं।

मान लीजिए xx और yy अक्षों वाला एक कार्तीय निकाय है, जैसा पाठ्यक्रम I के रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ वाले पाठ में है, और मान लीजिए θ\theta एक वास्तविक संख्या है। कोण θ\theta से घूर्णित निकाय वह कार्तीय निकाय है जिसका मूल बिंदु और लंबाई का मात्रक वही हैं, जिसका भुज-अक्ष का धनात्मक अर्ध-अक्ष वह किरण है जो मूल बिंदु से मानक स्थिति में कोण θ\theta पर निकलती है, और जिसका कोटि-अक्ष का धनात्मक अर्ध-अक्ष कोण θ+π2\theta + \frac{\pi}{2} वाली किरण है। नए निर्देशांक बड़े अक्षरों में लिखे जाते हैं: एक ही बिंदु PP के निर्देशांक प्रारंभिक निकाय में (x,y)(x, y) और घूर्णित निकाय में (X,Y)(X, Y) हैं। चूँकि दोनों निकायों का अभिविन्यास एक ही है, घूर्णित निकाय में भी ध्रुवीय निर्देशांक परिभाषित होते हैं, उसी ध्रुव के साथ और XX के धनात्मक अर्ध-अक्ष को ध्रुवीय अक्ष मानकर।

प्रमेयघूर्णन सूत्र

यदि किसी बिंदु के निर्देशांक एक कार्तीय निकाय में (x,y)(x, y) हैं और घूर्णित निकाय में (X,Y)(X, Y) हैं (घूर्णन का कोण θ\theta है), तो उसके नए निर्देशांक प्रारंभिक निर्देशांकों से, और प्रारंभिक निर्देशांक नए निर्देशांकों से, निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्राप्त होते हैं।

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

विचार यह है कि ध्रुवीय निर्देशांकों में अक्षों का घूर्णन ध्रुव से दूरी को नहीं बदलता और ध्रुवीय कोण में से केवल θ\theta घटा देता है; शेष काम योग और अंतर के सूत्र करते हैं, जो योग और अंतर के सूत्रों वाले पाठ में सिद्ध किए जाते हैं।

प्रमाण

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    यदि PP मूल बिंदु है, तो दोनों निकायों में उसके निर्देशांक शून्य हैं और सूत्र सत्य हैं। अन्यथा, हम प्रारंभिक ध्रुवीय अक्ष के सापेक्ष एक ध्रुवीय निरूपण (r,φ)(r, \varphi) लेते हैं जिसमें r>0r > 0, जैसा ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में है।

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    घूर्णित निकाय में ध्रुव वही है, इसलिए PP की ध्रुव से दूरी अब भी rr है। मान लीजिए ψ\psi घूर्णित निकाय में PP का एक ध्रुवीय कोण है। मात्रक वृत्त पर नया ध्रुवीय अक्ष P(θ)P(\theta) से होकर जाता है; वहाँ से चाप ψ\psi तय करने पर, कोण और उनकी माप वाले पाठ के चाप-लंबाई के अनुसार गमन के अभिगृहीत के जोड़ वाले गुण से, हम P(θ+ψ)P(\theta + \psi) पर पहुँचते हैं, जो बिंदु P(φ)P(\varphi) होना चाहिए (ध्रुव से PP की ओर जाने वाली किरण का बिंदु)। सहांत कोणों वाली प्रमेयिका से θ+ψ\theta + \psi और φ\varphi में 2π2\pi के किसी गुणज का अंतर है, इसलिए हम ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta ले सकते हैं।

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    हम अंतर की कोज्या का प्रसार करते हैं और प्रत्येक पद में प्रारंभिक निर्देशांकों को पहचानते हैं।

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    इसी प्रकार, अंतर की ज्या के साथ।

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    विलोमतः, प्रारंभिक कोण योग φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta है; योग के सूत्र प्रारंभिक निर्देशांकों को नए निर्देशांकों के पदों में देते हैं।

सूत्रों के दोनों युग्मों की संरचना एक-सी है: दूसरा युग्म पहले में θ\theta के स्थान पर −θ-\theta रखने से प्राप्त होता है, क्योंकि प्रारंभिक निकाय वह है जो नए निकाय को कोण −θ-\theta से घुमाने पर प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} होने पर बिंदु (1,1)(1, 1) के नए निर्देशांक X=2X = \sqrt{2} और Y=0Y = 0 हैं: वह नए भुज-अक्ष पर, मूल बिंदु से 2\sqrt{2} दूरी पर है। अक्षों के घूर्णन को बिंदुओं के घूर्णन से भ्रमित नहीं करना चाहिए: अक्षों को कोण θ\theta से घुमाने पर बिंदु अपनी जगह रहते हैं और उनके नाम बदल जाते हैं, और परिणाम वही है जो अक्षों को स्थिर रखकर पूरे समतल को कोण −θ-\theta से घुमाने पर मिलता है।

उपप्रमेयघूर्णन दूरियों को संरक्षित रखता है

दो बिंदुओं के बीच की दूरी, घूर्णित निकाय में उनके निर्देशांकों से परिकलित, उनके प्रारंभिक निर्देशांकों से परिकलित दूरी के बराबर होती है।

यह तथ्य ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में पहले ही देखा गया था: दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके ध्रुवीय कोणों पर केवल उनके अंतर के माध्यम से निर्भर करती है, और समतल को घुमाना उन कोणों में एक अचर जोड़ना है। यहाँ इसे सीधे कार्तीय निर्देशांकों में, घूर्णन सूत्रों और त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ की पाइथागोरस सर्वसमिका से, जाँचा जाता है।

प्रमाण

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    मान लीजिए P1P_1 और P2P_2 दो बिंदु हैं, जिनके निर्देशांक प्रारंभिक निकाय में (x1,y1)(x_1, y_1) और (x2,y2)(x_2, y_2) तथा घूर्णित निकाय में (X1,Y1)(X_1, Y_1) और (X2,Y2)(X_2, Y_2) हैं। हम प्रत्येक बिंदु के लिए लिखे गए घूर्णन सूत्रों को घटाते हैं, जहाँ u=x1−x2u = x_1 - x_2 और v=y1−y2v = y_1 - y_2।

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    हम वर्ग करके जोड़ते हैं। दुगुने गुणनफल, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta और −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    पाइथागोरस सर्वसमिका से प्रत्येक कोष्ठक 11 के बराबर है, और प्रारंभिक दूरी का वर्ग शेष रहता है।

इस प्रमेयिका का एक परिणाम है जो आगे की सारी बातों को उचित ठहराता है। परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय पहले के पाठों में नाभियों और नियताओं से दूरियों के गुणों द्वारा परिभाषित किए गए थे; चूँकि घूर्णन दूरियों को संरक्षित रखता है, जो वक्र घूर्णित निकाय में अर्ध-अक्षों aa और bb वाला दीर्घवृत्त है, वह प्रारंभिक निकाय में देखने पर भी उन्हीं अर्ध-अक्षों वाला दीर्घवृत्त है, भले ही उसके सममिति अक्ष तिरछे हों। यही बात अन्य शांकवों पर, और उनकी नाभियों, शीर्षों तथा अनंतस्पर्शियों पर लागू होती है, जो घूर्णन सूत्रों द्वारा एक निकाय से दूसरे में ले जाए जाते हैं।