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Topos Uranos
中文 (中国)

两直线的夹角与三角学的应用

摘要

本课用三角学来度量平面上两条直线所成的角。它定义直线的倾斜角，并证明倾斜角的正切就是斜率；借助两角差的正切公式，由两直线的斜率求出它们夹角的正切，其中包含垂直条件作为特例；又借助数量积给出第二个表达式，它对竖直直线也成立，而它与第一个表达式的一致性就是拉格朗日恒等式。随后，本课把两直线的角平分线刻画为到两直线距离相等的点的轨迹，证明它们互相垂直，并用它们求出三角形的内心和内切圆。最后一部分汇集应用：借助正弦定理求不可到达之点的高度，把简谐运动看作匀速圆周运动的影子，抛射体的射程（在 45∘45^\circ 时最大，且互余的两个角射程相同），以及作为最短路径之性质的反射定律。

学习目标

  1. 由斜率或方向向量计算直线的倾斜角和两直线的夹角，并把平行与垂直看作两种极端情形。
  2. 把两直线的角平分线方程作为到两直线等距的点的轨迹求出，选出三角形的内角平分线，并求出三角形的内心和内切圆。
  3. 借助仰角和俯角解决高度与距离问题，把正弦定理与两角和与差的公式结合起来。
  4. 用三角函数描述简谐运动、抛射体的射程和光的反射，并由本单元的恒等式推出它们的性质。

直线的倾斜角

在课程 I 中关于直线的方程的课里，非竖直直线的方向用一个数，即它的斜率，来度量，并且证明了两条非竖直直线垂直当且仅当它们的斜率之积等于 −1-1。这一条件识别出一个特殊的角，即直角，却没有度量任何角。在关于三角比的课里还看到，一个角的正切就是包含其终边的直线的斜率。既然如此，斜率就是某个角的正切，直线之间的角应当能够用三角学来计算。

直线的倾斜角是横轴的正半轴与该直线所成的角 α\alpha（其中 0≤α<π0 \le \alpha < \pi），按逆时针方向从轴量到直线。水平直线的倾斜角为 00，竖直直线的倾斜角为 π2\frac{\pi}{2}。

更精确地说，过原点且与该直线平行的直线包含某个角 α\alpha 的终边，也包含 α+π\alpha + \pi 的终边，因为单位圆上的点 P(α)P(\alpha) 与 P(α+π)P(\alpha + \pi) 是对径点；形如 α+kπ\alpha + k\pi 的角中恰有一个落在 [0,π)\ico{0}{\pi} 内，它就是倾斜角。两条直线平行或重合当且仅当它们的倾斜角相同，因为此时，并且只有此时，它们过原点的平行线相同。

引理倾斜角与斜率

倾斜角为 α\alpha 的直线是竖直的当且仅当 α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}；若它不是竖直的，则它的斜率等于其倾斜角的正切。反过来，斜率为 mm 的直线，其倾斜角为 arctan⁡m\arctan m（当 m≥0m \ge 0 时），为 π+arctan⁡m\pi + \arctan m（当 m<0m < 0 时）。

m=tan⁡αm = \tan \alpha

一切都可以在过原点且与该直线平行的直线上看出，它包含单位圆上的点 P(α)P(\alpha)。图中使用直线 y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 和 y=−xy = -x。

证明

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    设 rr 是倾斜角为 α\alpha 的直线，设 r0r_0 是它过原点的平行线。由倾斜角的定义，r0r_0 包含角 α\alpha 的终边，特别地包含点 P(α)P(\alpha)；若 rr 不是竖直的，则 r0r_0 与它斜率相同，因为根据课程 I 中关于直线的方程的课，两条平行直线斜率相同。图中，α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}。

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    直线 r0r_0 是竖直的当且仅当它的两个点横坐标相同，即 cos⁡α=0\cos \alpha = 0。在 [0,π)\ico{0}{\pi} 内，余弦的唯一零点是 π2\frac{\pi}{2}；而 rr 是竖直的，恰好当它的平行线是竖直的时候。

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    若 rr 不是竖直的，则它的斜率等于 r0r_0 的斜率，即其两点纵坐标之差与横坐标之差的比。

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    反过来，设 mm 是 rr 的斜率。由上面刚刚证明的结论，倾斜角 α\alpha 是 [0,π)\ico{0}{\pi} 中的一个角，其正切为 mm。根据关于三角方程的课，正切为 mm 的角是数 arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi，其中恰有一个落在 [0,π)\ico{0}{\pi} 内：由于 arctan⁡m\arctan m 属于 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}，这个角为 arctan⁡m\arctan m（若 m≥0m \ge 0），为 π+arctan⁡m\pi + \arctan m（若 m<0m < 0）。图中，直线 y=−xy = -x 的倾斜角为 π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}。

例如，直线 y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 的倾斜角为 arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}，直线 y=−xy = -x 的倾斜角为 π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}。于是斜率的符号把上升的直线（倾斜角为锐角）与下降的直线（倾斜角为钝角）区分开来。