Equações e inequações trigonométricas

Demonstração

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Seja $\alpha = \arcsin c$, que está em $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e cumpre $\sin \alpha = c$. Como o seno é estritamente crescente nesse intervalo, não assume ali duas vezes o mesmo valor: $\alpha$ é a única solução na primeira metade da volta. Na circunferência unitária, $P(\alpha)$ é o ponto da metade direita que está à altura $c$.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Se $x$ está em $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, o ângulo $\pi - x$ está em $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e tem o mesmo seno que $x$. Pelo passo precedente, $x$ é solução exatamente quando $\pi - x = \alpha$: a reta horizontal de altura $c$ corta a metade esquerda no ponto simétrico $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Seja agora $x$ um real qualquer. Pelo lema, com $p = 2\pi$ e $a = -\frac{\pi}{2}$, escreve-se $x = x_0 + 2k\pi$ com $x_0$ na volta estudada, e pela periodicidade $\sin x = \sin x_0$. Portanto, $x$ é solução se e somente se $x_0$ é $\alpha$ ou $\pi - \alpha$.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Reciprocamente, todo número dessas duas famílias é solução, também pela periodicidade. No gráfico do seno, a reta $y = c$ corta a curva em dois pontos por período. Se $c = 1$ ou $c = -1$, as duas famílias coincidem, porque $\pi - \alpha$ difere de $\alpha$ em um múltiplo de $2\pi$, e há um único ponto de corte por período.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Para o cosseno usa-se a simetria dos ângulos complementares, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, e o teorema dos ângulos complementares da aula sobre as funções inversas, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. Aplicando o passo precedente ao ângulo $\frac{\pi}{2} - x$, obtêm-se duas famílias.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   Isolando $x$, as famílias são $\arccos c - 2k\pi$ e $-\arccos c - 2k\pi$; como $-k$ percorre os inteiros quando $k$ os percorre, são as do enunciado. Na circunferência, os pontos $P(\beta)$ e $P(-\beta)$, com $\beta = \arccos c$, são os dois cortes da reta vertical de abscissa $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Para a tangente, de período $\pi$, aplica-se o lema com $p = \pi$ e $a = -\frac{\pi}{2}$: se $x = x_0 + k\pi$ com $x_0$ em $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, onde a tangente é uma bijeção sobre $\mathbb{R}$, a única solução é $x_0 = \arctan c$; o ponto $-\frac{\pi}{2}$ não conta, porque ali a tangente não está definida. Se $\abs{c} > 1$, nem o seno nem o cosseno alcançam o valor $c$, porque seus valores estão em $\icc{-1}{1}$.

Demonstração

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Seja $x_1$ um número real. Pelo lema, com $p = 2\pi$, existe um único inteiro $k$ tal que $x_1 - 2k\pi$ está em $\ico{a}{a + 2\pi}$: a família dos números $x_1 + 2j\pi$, com $j$ inteiro, tem exatamente um membro na volta.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Seja $\alpha = \arcsin c$, em $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Se as duas famílias do seno têm um membro comum, são a mesma família, e isso ocorre exatamente quando $\alpha$ é $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$, isto é, quando $c = \pm 1$. Portanto, se $\abs{c} < 1$ as duas famílias contribuem com duas soluções distintas para a volta, e se $\abs{c} = 1$, com uma só.

3. 3
   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Seja $\beta = \arccos c$, em $\icc{0}{\pi}$. As duas famílias do cosseno têm um membro comum exatamente quando $\beta$ é um múltiplo inteiro de $\pi$, isto é, quando $\beta$ é $0$ ou $\pi$, o que equivale a $c = \pm 1$; a contagem é a mesma que para o seno.

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   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Para a tangente há uma só família, com espaçamento $\pi$, e o lema, com $p = \pi$, dá-lhe exatamente um membro em $\ico{a}{a + \pi}$. Esse membro é solução, porque $\arctan c + k\pi$ nunca é da forma $\frac{\pi}{2} + j\pi$, em que a tangente não está definida: $\arctan c$ está em $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.