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Topos Uranos
Português

O ângulo entre duas retas e aplicações da trigonometria

Resumo

Esta aula mede com a trigonometria o ângulo que duas retas do plano formam. Define a inclinação de uma reta e demonstra que sua tangente é o coeficiente angular; com a fórmula da tangente da diferença obtém a tangente do ângulo entre duas retas a partir de seus coeficientes angulares, que contém como caso particular a condição de perpendicularidade, e com o produto escalar dá uma segunda expressão, válida também para as retas verticais, cuja coerência com a primeira é a identidade de Lagrange. Caracteriza depois as bissetrizes de duas retas como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de ambas, demonstra que são perpendiculares e obtém com elas o incentro e a circunferência inscrita de um triângulo. A última seção reúne aplicações: a altura de um ponto inacessível por meio da lei dos senos, o movimento harmônico simples como sombra de um movimento circular uniforme, o alcance de um projétil, que é máximo a 45∘45^\circ e o mesmo para ângulos complementares, e a lei da reflexão como propriedade do caminho mais curto.

Objetivos de aprendizagem

  1. Calcular a inclinação de uma reta e o ângulo entre duas retas, a partir de seus coeficientes angulares ou de seus vetores diretores, e reconhecer o paralelismo e a perpendicularidade como casos extremos.
  2. Obter as equações das bissetrizes de duas retas como lugar geométrico de pontos equidistantes, escolher a bissetriz interna de um triângulo e calcular seu incentro e sua circunferência inscrita.
  3. Resolver problemas de alturas e distâncias com ângulos de elevação e de depressão, combinando a lei dos senos com as fórmulas de adição e subtração.
  4. Descrever o movimento harmônico simples, o alcance de um projétil e a reflexão da luz com funções trigonométricas, e deduzir suas propriedades das identidades desta unidade.

A inclinação de uma reta

Na aula do curso I sobre a equação da reta, a direção de uma reta não vertical foi medida com um número, seu coeficiente angular, e demonstrou-se que duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares é −1-1. Essa condição reconhece um ângulo particular, o reto, sem medir nenhum ângulo. Na aula sobre as razões trigonométricas viu-se, além disso, que a tangente de um ângulo é o coeficiente angular da reta que contém seu lado terminal. Se isso é assim, o coeficiente angular é a tangente de um ângulo, e os ângulos entre retas devem poder ser calculados com a trigonometria.

A inclinação de uma reta é o ângulo α\alpha, com 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, que o semieixo positivo das abscissas forma com a reta, medido no sentido anti-horário desde o eixo até a reta. As retas horizontais têm inclinação 00, e as verticais, inclinação π2\frac{\pi}{2}.

Com mais precisão, a paralela à reta traçada pela origem contém o lado terminal de algum ângulo α\alpha, e também o de α+π\alpha + \pi, porque os pontos P(α)P(\alpha) e P(α+π)P(\alpha + \pi) da circunferência unitária são opostos; exatamente um dos ângulos da forma α+kπ\alpha + k\pi está em [0,π)\ico{0}{\pi}, e esse é a inclinação. Duas retas são paralelas ou coincidem se e somente se têm a mesma inclinação, porque então, e somente então, têm a mesma paralela pela origem.

LemaInclinação e coeficiente angular

Uma reta de inclinação α\alpha é vertical se e somente se α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; se não é vertical, seu coeficiente angular é a tangente de sua inclinação. Reciprocamente, a inclinação de uma reta de coeficiente angular mm é arctan⁡m\arctan m se m≥0m \ge 0, e π+arctan⁡m\pi + \arctan m se m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Tudo se lê na paralela à reta traçada pela origem, que contém o ponto P(α)P(\alpha) da circunferência unitária. A figura usa as retas y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 e y=−xy = -x.

Demonstração

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Seja rr uma reta de inclinação α\alpha, e seja r0r_0 sua paralela pela origem. Pela definição da inclinação, r0r_0 contém o lado terminal de α\alpha, e em particular o ponto P(α)P(\alpha); se rr não é vertical, r0r_0 tem o mesmo coeficiente angular, porque duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, segundo a aula do curso I sobre a equação da reta. Na figura, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    A reta r0r_0 é vertical se e somente se seus dois pontos têm a mesma abscissa, isto é, se cos⁡α=0\cos \alpha = 0. Em [0,π)\ico{0}{\pi}, o único zero do cosseno é π2\frac{\pi}{2}; e rr é vertical exatamente quando sua paralela o é.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Se rr não é vertical, seu coeficiente angular é o de r0r_0, que é o quociente entre a diferença das ordenadas e a das abscissas de seus dois pontos.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Reciprocamente, seja mm o coeficiente angular de rr. Pelo passo acima, a inclinação α\alpha é um ângulo de [0,π)\ico{0}{\pi} cuja tangente é mm. Segundo a aula sobre as equações trigonométricas, os ângulos de tangente mm são os números arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, e exatamente um deles está em [0,π)\ico{0}{\pi}: como arctan⁡m\arctan m está em (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, esse ângulo é arctan⁡m\arctan m se m≥0m \ge 0, e π+arctan⁡m\pi + \arctan m se m<0m < 0. Na figura, a reta y=−xy = -x tem inclinação π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Por exemplo, a reta y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 tem inclinação arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, e a reta y=−xy = -x, inclinação π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. O sinal do coeficiente angular distingue assim as retas que sobem, de inclinação aguda, das que descem, de inclinação obtusa.