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Topos Uranos
Português

Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau

Resumo

Esta aula completa o estudo das cônicas com o caso que ficou pendente: a equação do segundo grau que contém um termo em xyxy. Deduz, por meio das coordenadas polares e das fórmulas da diferença, como mudam as coordenadas de um ponto quando os eixos giram um ângulo θ\theta, e demonstra que a rotação conserva as distâncias, de modo que não altera a forma de nenhuma figura. Calcula os coeficientes da equação geral depois da rotação, demonstra que o ângulo que satisfaz cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} elimina o termo em xyxy e que a soma A+CA + C e o discriminante B2−4ACB^2 - 4AC não mudam com a rotação. Disso decorre a classificação de todas as equações do segundo grau pelo sinal do discriminante: elipses, parábolas e hipérboles, com os seus casos degenerados. Termina reconhecendo como cônicas rotacionadas a hipérbole xy=1xy = 1, uma elipse e uma parábola cujos eixos são oblíquos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Deduzir as fórmulas que relacionam as coordenadas de um ponto em dois sistemas cartesianos que diferem por uma rotação, e demonstrar que a rotação conserva as distâncias.
  2. Calcular os coeficientes de uma equação do segundo grau depois de uma rotação e escolher o ângulo que elimina o termo em xyxy.
  3. Demonstrar que A+CA + C e B2−4ACB^2 - 4AC são invariantes por rotação e usá-los para obter a forma reduzida sem substituir.
  4. Classificar uma equação geral do segundo grau pelo sinal do seu discriminante, encontrar os seus elementos nas coordenadas rotacionadas e expressá-los nas coordenadas originais.

A rotação dos eixos

Na aula do curso I sobre as seções cônicas demonstrou-se que toda equação do segundo grau sem termo em xyxy representa uma parábola, uma elipse, uma hipérbole ou um dos seus casos degenerados, cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados. Ora, uma elipse cujo eixo maior está sobre a reta y=xy = x também tem uma equação do segundo grau, e nela aparece um termo em xyxy. Para reconhecê-la convém escolher outro sistema de eixos, rotacionado em relação ao primeiro, no qual a curva recupere a sua equação canônica. Estuda-se agora como mudam as coordenadas de um ponto quando se giram os eixos.

Seja um sistema cartesiano de eixos xx e yy, como os da aula do curso I sobre a equação da reta e os sistemas cartesianos, e seja θ\theta um número real. O sistema rotacionado pelo ângulo θ\theta é o sistema cartesiano que tem a mesma origem e a mesma unidade de comprimento, cujo semieixo positivo das abscissas é a semirreta que sai da origem com ângulo θ\theta na posição padrão, e cujo semieixo positivo das ordenadas é a semirreta de ângulo θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. As novas coordenadas escrevem-se com maiúsculas: um mesmo ponto PP tem coordenadas (x,y)(x, y) no sistema original e (X,Y)(X, Y) no rotacionado. Como os dois sistemas têm a mesma orientação, no rotacionado definem-se também coordenadas polares, com o mesmo polo e com o semieixo positivo de XX como eixo polar.

TeoremaAs fórmulas de rotação

Se um ponto tem coordenadas (x,y)(x, y) num sistema cartesiano e coordenadas (X,Y)(X, Y) no sistema rotacionado pelo ângulo θ\theta, então as suas coordenadas novas obtêm-se das originais, e as originais das novas, por meio das fórmulas abaixo.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

A ideia é que, em coordenadas polares, girar os eixos não muda a distância ao polo e apenas subtrai θ\theta do ângulo polar; as fórmulas de adição e subtração, que se demonstram na aula sobre as fórmulas de adição e subtração, fazem o resto.

Demonstração

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Se PP é a origem, as suas coordenadas são nulas em ambos os sistemas e as fórmulas verificam-se. Se não o é, tomamos uma representação polar (r,φ)(r, \varphi) com r>0r > 0 em relação ao eixo polar original, como na aula sobre as coordenadas polares.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    No sistema rotacionado o polo é o mesmo, de modo que a distância de PP ao polo continua sendo rr. Seja ψ\psi um ângulo polar de PP no sistema rotacionado. Na circunferência unitária, o novo eixo polar passa por P(θ)P(\theta); percorrer dali um arco ψ\psi leva, pela propriedade de encadeamento do axioma do percurso da aula sobre os ângulos e sua medida, a P(θ+ψ)P(\theta + \psi), que deve ser o ponto P(φ)P(\varphi) da semirreta que vai do polo a PP. Pelo lema dos ângulos côngruos, θ+ψ\theta + \psi e φ\varphi diferem por um múltiplo de 2π2\pi, de modo que podemos tomar ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Desenvolvemos o cosseno da diferença e reconhecemos em cada termo as coordenadas originais.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Do mesmo modo, com o seno da diferença.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Reciprocamente, o ângulo original é a soma φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta; as fórmulas da soma dão as coordenadas originais em função das novas.

Os dois pares de fórmulas têm a mesma estrutura: o segundo obtém-se do primeiro trocando θ\theta por −θ-\theta, porque o sistema original é o que resulta de girar o novo pelo ângulo −θ-\theta. Por exemplo, com θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, o ponto (1,1)(1, 1) tem coordenadas novas X=2X = \sqrt{2} e Y=0Y = 0: está sobre o novo eixo das abscissas, à distância 2\sqrt{2} da origem. Convém não confundir a rotação dos eixos com a rotação dos pontos: girar os eixos pelo ângulo θ\theta deixa os pontos imóveis e muda os seus nomes, e o resultado é o mesmo que deixar os eixos imóveis e girar o plano inteiro pelo ângulo −θ-\theta.

LemaA rotação conserva as distâncias

A distância entre dois pontos, calculada com as suas coordenadas no sistema rotacionado, coincide com a calculada com as suas coordenadas originais.

O fato já foi observado na aula sobre as coordenadas polares: a distância entre dois pontos depende dos seus ângulos polares apenas por meio da sua diferença, e girar o plano consiste em somar uma constante a esses ângulos. Aqui verifica-se diretamente em coordenadas cartesianas, com as fórmulas de rotação e a identidade pitagórica da aula sobre as razões trigonométricas.

Demonstração

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Sejam P1P_1 e P2P_2 dois pontos, de coordenadas (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) no sistema original e (X1,Y1)(X_1, Y_1) e (X2,Y2)(X_2, Y_2) no rotacionado. Subtraímos as fórmulas de rotação escritas para cada ponto, com u=x1−x2u = x_1 - x_2 e v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Elevamos ao quadrado e somamos. Os duplos produtos, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta e −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, cancelam-se.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Pela identidade pitagórica, cada parêntese vale 11, e resta o quadrado da distância original.

O lema tem uma consequência que justifica tudo o que vem depois. A parábola, a elipse e a hipérbole foram definidas nas aulas precedentes por propriedades de distâncias a focos e diretrizes; como a rotação conserva as distâncias, uma curva que no sistema rotacionado é uma elipse de semieixos aa e bb é, vista no sistema original, uma elipse com os mesmos semieixos, ainda que os seus eixos de simetria sejam oblíquos. O mesmo vale para as outras cônicas, para os seus focos, os seus vértices e as suas assíntotas, que se transportam de um sistema ao outro com as fórmulas de rotação.