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Topos Uranos
日本語

三角方程式と三角関数の不等式

要約

この課では、未知数が三角関数の中に現れる方程式と不等式を解く。まず、sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c、tan⁡x=c\tan x = c の数直線全体における一般解を証明する。これは逆関数で得た一回転の中の解を周期性によって広げたものであり、そのうちいくつが与えられた区間に入るかも数える。次に、恒等式、因数分解、倍角によって解く方程式を、二つの正弦の相等または二つの余弦の相等を通じて、これらの基本的な方程式に帰着させる方法を示す；正弦と余弦の一次方程式を合成した形によって、解をもつ条件とともに解き、同次方程式も解き、割ると解が失われ、二乗すると解が加わることを示す。最後に、一回転における不等式を単位円と符号表で解き、その解を周期的に広げる。

学習目標

  1. 正弦、余弦、正接の基本的な方程式の一般解を証明して応用し、与えられた区間における解の個数を数える。
  2. 恒等式、因数分解、二つの正弦の相等または二つの余弦の相等、合成した形によって三角方程式を基本的な方程式に帰着させ、正弦と余弦の一次方程式がいつ解をもつかを判定する。
  3. 割ると失われる解と、二乗したり掛けたりすると加わる解を見分け、得られた各解をもとの方程式で確かめる。
  4. 一回転における三角関数の不等式を単位円と符号表で解き、その一般解を書く。

基本的な方程式の一般解

三角方程式とは、未知数が三角関数の引数に現れる方程式のことであり、たとえば 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 や sin⁡3x=sin⁡x\sin 3x = \sin x である；それを解くとは、それを満たす実数全体の集合を求めることである。逆三角関数の課では基本的な方程式の定理を証明した。この定理は sin⁡x=c\sin x = c と cos⁡x=c\cos x = c の [0,2π)\ico{0}{2\pi} における解を与える。ところが、正弦と余弦は周期 2π2\pi をもち、正接は周期 π\pi をもつ。これは三角関数とそのグラフの課による；したがって、各解は無限に何度も繰り返され、すべての解を記述するには、長さが一周期である区間の中で解がわかれば十分である。そのような区間から数直線全体へ移ることを可能にする事実は、1 周目への帰着の定理の一つの変形であり、この定理は角とその大きさの課で証明した。

補題一周期への帰着

p>0p > 0 と aa を実数とする。任意の実数 xx に対して、ただ一つの整数 kk が存在して、x−kp∈[a,a+p)x - kp \in \ico{a}{a + p} となる。

尺度の変換によって区間 [a,a+p)\ico{a}{a + p} は 1 周目 [0,2π)\ico{0}{2\pi} に移り、1 周目への帰着の定理が求める整数を与える。図では a=1a = 1、p=52p = \frac{5}{2}、x=8x = 8 を用いる。

証明

  1. θ=2πp(x−a)=θ0+2kπ,0≤θ0<2π\theta = \frac{2\pi}{p} (x - a) = \dato{t}{\theta_0 + 2k\pi, \quad 0 \leq \theta_0 < 2\pi}

    θ\theta を、xx から aa を引き、2πp\frac{2\pi}{p} を掛けて得られる数とする。1 周目への帰着の定理により、ただ一つの整数 kk とただ一つの θ0\theta_0（[0,2π)\ico{0}{2\pi} の元）が存在して、θ=θ0+2kπ\theta = \theta_0 + 2k\pi となる。

  2. x−kp=a+p2πθ0→a≤x−kp<a+px - kp = a + \frac{p}{2\pi} \theta_0 \rightarrow \resaltar{a \leq x - kp < a + p}

    p2π\frac{p}{2\pi} を掛け（これは正であり、不等号の向きを保つ）、aa を加える：数 x−kpx - kp は求める区間にある。図では k=2k = 2、x−2p=3x - 2p = 3 である。

  3. a≤x−jp<a+p→0≤θ−2jπ<2π→j=ka \leq x - jp < a + p \rightarrow 0 \leq \resaltar{\theta - 2j\pi} < 2\pi \rightarrow \resaltar{j = k}

    一意性：整数 jj も a≤x−jp<a+pa \leq x - jp < a + p を満たすならば、aa を引いて 2πp\frac{2\pi}{p} を掛けると、θ−2jπ\theta - 2j\pi が [0,2π)\ico{0}{2\pi} にあることがわかる。したがって θ=(θ−2jπ)+2jπ\theta = \left( \theta - 2j\pi \right) + 2j\pi は証明の冒頭と同じ形の別の分解である；帰着の定理が与える一意性により、j=kj = k である。

定理一般解

cc を ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1 を満たす実数とする。sin⁡x=c\sin x = c の解は数 arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi と π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi であり、cos⁡x=c\cos x = c の解は数 arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi と −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi である。ここで kk は整数全体を動く。任意の実数 cc に対して、tan⁡x=c\tan x = c の解は数 arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi である（kk は整数）。∣c∣>1\abs{c} > 1 ならば、正弦と余弦の方程式は解をもたない。

集合と論理結合子の記号を用いると、定理は次のように書ける：

sin⁡x=c↔x=arcsin⁡c+2kπ∨x=π−arcsin⁡c+2kπ,k∈Z\sin x = c \leftrightarrow x = \arcsin c + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsin c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ,tan⁡x=c↔x=arctan⁡c+kπ,k∈Z\cos x = c \leftrightarrow x = \pm \arccos c + 2k\pi, \qquad \tan x = c \leftrightarrow x = \arctan c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

まず [−π2,3π2)\ico{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} で考える。これは一回転であり、二つの半分に分ける：[−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} では正弦は狭義に増加する。これは主値の区間における単調性の定理によるものであり、逆関数の課はこの定理を弧長に沿った移動の公理から導いた。(π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} では補角の対称性 sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x がはたらく。これは三角比の課で示した。補題が結果を数直線全体に広げ、余弦の方程式は正弦の方程式に帰着される。図では c=12c = \frac{1}{2} を用い、そのとき arcsin⁡c=π6\arcsin c = \frac{\pi}{6} である。

証明

  1. −π2≤x≤π2→(sin⁡x=c↔x=α)\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}

    α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c とする。これは [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にあり、sin⁡α=c\sin \alpha = c を満たす。正弦はこの区間で狭義に増加するので、そこで同じ値を二度とらない：α\alpha は一回転の前半におけるただ一つの解である。単位円上で、P(α)P(\alpha) は右半分の円周上で高さ cc にある点である。

  2. sin⁡x=sin⁡(π−x)=c↔π−x=α↔x=π−α\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}

    xx が (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} にあれば、角 π−x\pi - x は (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にあり、xx と同じ正弦をもつ。上で示したことにより、xx が解になるのはちょうど π−x=α\pi - x = \alpha のときである：高さ cc の水平な直線は、左半分の円周と対称な点 P(π−α)P(\pi - \alpha) で交わる。

  3. sin⁡x=sin⁡x0=c↔x=α+2kπ∨x=π−α+2kπ\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}

    ここで xx を任意の実数とする。補題により、p=2πp = 2\pi、a=−π2a = -\frac{\pi}{2} として、x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi と書ける。ここで x0x_0 は調べた一回転の中にあり、周期性により sin⁡x=sin⁡x0\sin x = \sin x_0 である。したがって、xx が解であるのは、x0x_0 が α\alpha または π−α\pi - \alpha であるとき、かつそのときに限る。

  4. α=±π2→π−α=α∨π−α=α+2π\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}

    逆に、これら二つの族のどの数も、やはり周期性により解である。正弦のグラフでは、直線 y=cy = c は一周期ごとに二点で曲線と交わる。c=1c = 1 または c=−1c = -1 ならば二つの族は一致する。π−α\pi - \alpha と α\alpha の差が 2π2\pi の倍数になるからであり、交点は一周期ごとにただ一つになる。

  5. π2−x=π2−arccos⁡c+2kπ∨π2−x=π2+arccos⁡c+2kπ\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi

    余弦については、余角の対称性 cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right) と、逆関数の課の余角の定理 arcsin⁡c=π2−arccos⁡c\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c を用いる。上のことを角 π2−x\frac{\pi}{2} - x に適用すると、二つの族が得られる。

  6. cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}

    xx について解くと、族は arccos⁡c−2kπ\arccos c - 2k\pi と −arccos⁡c−2kπ-\arccos c - 2k\pi である；−k-k は kk が整数全体を動くとき同じく整数全体を動くので、これらは定理の族である。円上で、点 P(β)P(\beta) と P(−β)P(-\beta)（ただし β=arccos⁡c\beta = \arccos c）は、横座標が cc である鉛直線との二つの交点である。

  7. tan⁡x=tan⁡x0=c↔x=arctan⁡c+kπ\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}

    周期 π\pi の正接については、p=πp = \pi、a=−π2a = -\frac{\pi}{2} として補題を適用する：x=x0+kπx = x_0 + k\pi で、x0x_0 が (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にあるとき（そこで正接は R\mathbb{R} への全単射である）、ただ一つの解は x0=arctan⁡cx_0 = \arctan c である；点 −π2-\frac{\pi}{2} は数えない。そこでは正接が定義されないからである。∣c∣>1\abs{c} > 1 ならば、正弦も余弦も値 cc をとらない。それらの値は [−1,1]\icc{-1}{1} にあるからである。

たとえば、arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} であるから、sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} の解は次の二つの族の数である；第一の族で k=1k = 1、第二の族で k=0k = 0 とすると、[0,2π)\ico{0}{2\pi} にある二つの解が得られ、それは 11π6\frac{11\pi}{6} と 7π6\frac{7\pi}{6} であって、逆関数の課の結果と一致する。

sin⁡x=−12↔x=−π6+2kπ∨x=7π6+2kπ,k∈Z\sin x = -\frac{1}{2} \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

sin⁡x=0\sin x = 0 の解は二つの族 2kπ2k\pi と π+2kπ\pi + 2k\pi をなし、合わせると π\pi の整数倍になる；cos⁡x=0\cos x = 0 の解は ±π2+2kπ\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi であり、合わせると数 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi になる。この二つの簡潔な記述はよく使われる：

sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \qquad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

区間における解の個数

三角方程式についての問いは、たいてい区間に限られ、ほとんどいつもそれは [0,2π)\ico{0}{2\pi} である。補題によれば、x1+2kπx_1 + 2k\pi の形の各族は [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi} にちょうど一つの元をもつ。aa が何であってもそうである；このことから、任意の一回転における基本的な方程式の解の個数がわかる。

定理一回転における解

aa と cc を実数とする。∣c∣<1\abs{c} < 1 ならば、方程式 sin⁡x=c\sin x = c と cos⁡x=c\cos x = c はそれぞれ [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi} にちょうど二つの解をもち、∣c∣=1\abs{c} = 1 ならばちょうど一つの解をもつ。方程式 tan⁡x=c\tan x = c は [a,a+π)\ico{a}{a + \pi} にちょうど一つの解をもつ。

補題により、解の各族は一回転にただ一つの元を与える；正弦の二つの族、あるいは余弦の二つの族が、いつ同じ一つの族になるかがわかればよい。図では a=1a = 1 とし、c=12c = \frac{1}{2} と c=1c = 1 を用いる。

証明

  1. x1+2jπ∈[a,a+2π)↔j=−k\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}

    x1x_1 を実数とする。補題により、p=2πp = 2\pi として、ただ一つの整数 kk が存在して x1−2kπx_1 - 2k\pi が [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi} にある：数 x1+2jπx_1 + 2j\pi（jj は整数）の族は、一回転の中にちょうど一つの元をもつ。

  2. α+2kπ=π−α+2jπ↔α=π2+(j−k)π↔α=±π2↔c=±1\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c とする。これは [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にある。正弦の二つの族が共通の元をもてば同じ族であり、それが起こるのはちょうど α\alpha が π2\frac{\pi}{2} または −π2-\frac{\pi}{2} のとき、すなわち c=±1c = \pm 1 のときである。したがって、∣c∣<1\abs{c} < 1 ならば二つの族は一回転に二つの異なる解を与え、∣c∣=1\abs{c} = 1 ならば一つだけである。

  3. β+2kπ=−β+2jπ↔β=(j−k)π↔β∈{0,π}↔c=±1\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    β=arccos⁡c\beta = \arccos c とする。これは [0,π]\icc{0}{\pi} にある。余弦の二つの族が共通の元をもつのはちょうど β\beta が π\pi の整数倍のとき、すなわち β\beta が 00 または π\pi のときであり、これは c=±1c = \pm 1 と同値である；数え方は正弦と同じである。

  4. −π2<arctan⁡c<π2→arctan⁡c+kπ≠π2+jπ-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}

    正接については族は一つだけで、隣り合う元の間隔は π\pi である。補題は p=πp = \pi として、この族に [a,a+π)\ico{a}{a + \pi} のちょうど一つの元を与える。この元は解である。arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi は決して π2+jπ\frac{\pi}{2} + j\pi の形にならないからである（その形の点では正接は定義されない）：arctan⁡c\arctan c は (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にある。