Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η γωνία δύο ευθειών και εφαρμογές της τριγωνομετρίας

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μετρά με την τριγωνομετρία τη γωνία που σχηματίζουν δύο ευθείες του επιπέδου. Ορίζει τη γωνία κλίσης μιας ευθείας και αποδεικνύει ότι η εφαπτομένη της είναι η κλίση· με τον τύπο της εφαπτομένης διαφοράς βρίσκει την εφαπτομένη της γωνίας δύο ευθειών από τις κλίσεις τους, που περιέχει ως ειδική περίπτωση τη συνθήκη καθετότητας, και με το εσωτερικό γινόμενο δίνει μια δεύτερη έκφραση, που ισχύει και για τις κατακόρυφες ευθείες και της οποίας η συμφωνία με την πρώτη είναι η ταυτότητα του Λαγκράνζ. Χαρακτηρίζει έπειτα τις διχοτόμους δύο ευθειών ως τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από αυτές, αποδεικνύει ότι είναι κάθετες και βρίσκει με αυτές το έγκεντρο και τον εγγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου. Το τελευταίο μέρος συγκεντρώνει εφαρμογές: το ύψος ενός απρόσιτου σημείου με τον νόμο των ημιτόνων, την απλή αρμονική ταλάντωση ως σκιά μιας ομαλής κυκλικής κίνησης, το βεληνεκές ενός βλήματος, που είναι μέγιστο στις 45∘45^\circ και το ίδιο για συμπληρωματικές γωνίες, και τον νόμο της ανάκλασης ως ιδιότητα του συντομότερου δρόμου.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να υπολογίζονται η γωνία κλίσης μιας ευθείας και η γωνία δύο ευθειών, από τις κλίσεις τους ή από τα διανύσματα κατεύθυνσής τους, και να αναγνωρίζονται η παραλληλία και η καθετότητα ως ακραίες περιπτώσεις.
  2. Να βρίσκονται οι εξισώσεις των διχοτόμων δύο ευθειών ως γεωμετρικός τόπος σημείων που ισαπέχουν, να επιλέγεται η εσωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου και να υπολογίζονται το έγκεντρό του και ο εγγεγραμμένος κύκλος του.
  3. Να λύνονται προβλήματα υψών και αποστάσεων με γωνίες ανύψωσης και κατάδυσης, συνδυάζοντας τον νόμο των ημιτόνων με τους τύπους του αθροίσματος και της διαφοράς.
  4. Να περιγράφονται με τριγωνομετρικές συναρτήσεις η απλή αρμονική ταλάντωση, το βεληνεκές ενός βλήματος και η ανάκλαση του φωτός, και να συνάγονται οι ιδιότητές τους από τις ταυτότητες αυτής της ενότητας.

Η γωνία κλίσης μιας ευθείας

Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας, η διεύθυνση μιας μη κατακόρυφης ευθείας μετρήθηκε με έναν αριθμό, την κλίση της, και αποδείχθηκε ότι δύο μη κατακόρυφες ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των κλίσεών τους είναι −1-1. Η συνθήκη αυτή αναγνωρίζει μια συγκεκριμένη γωνία, την ορθή, χωρίς να μετρά καμία γωνία. Στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς είδαμε, επιπλέον, ότι η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι η κλίση της ευθείας που περιέχει την τελική πλευρά της. Αν αυτό ισχύει, η κλίση είναι η εφαπτομένη μιας γωνίας, και οι γωνίες μεταξύ ευθειών πρέπει να μπορούν να υπολογιστούν με την τριγωνομετρία.

Η γωνία κλίσης μιας ευθείας είναι η γωνία α\alpha, με 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας των τετμημένων με την ευθεία, μετρημένη με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού από τον άξονα προς την ευθεία. Οι οριζόντιες ευθείες έχουν γωνία κλίσης 00 και οι κατακόρυφες γωνία κλίσης π2\frac{\pi}{2}.

Πιο αυστηρά, η παράλληλη προς την ευθεία από την αρχή των αξόνων περιέχει την τελική πλευρά κάποιας γωνίας α\alpha, και επίσης εκείνη της α+π\alpha + \pi, επειδή τα σημεία P(α)P(\alpha) και P(α+π)P(\alpha + \pi) του μοναδιαίου κύκλου είναι αντιδιαμετρικά· ακριβώς μία από τις γωνίες της μορφής α+kπ\alpha + k\pi ανήκει στο [0,π)\ico{0}{\pi}, και αυτή είναι η γωνία κλίσης. Δύο ευθείες είναι παράλληλες ή συμπίπτουν αν και μόνο αν έχουν την ίδια γωνία κλίσης, επειδή τότε, και μόνο τότε, έχουν την ίδια παράλληλη από την αρχή.

ΛήμμαΓωνία κλίσης και κλίση

Μια ευθεία με γωνία κλίσης α\alpha είναι κατακόρυφη αν και μόνο αν α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}· αν δεν είναι κατακόρυφη, η κλίση της είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της. Αντίστροφα, η γωνία κλίσης μιας ευθείας με κλίση mm είναι arctan⁡m\arctan m αν m≥0m \ge 0, και π+arctan⁡m\pi + \arctan m αν m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Όλα διαβάζονται στην παράλληλη προς την ευθεία από την αρχή των αξόνων, η οποία περιέχει το σημείο P(α)P(\alpha) του μοναδιαίου κύκλου. Το σχήμα χρησιμοποιεί τις ευθείες y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 και y=−xy = -x.

Απόδειξη

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Έστω rr μια ευθεία με γωνία κλίσης α\alpha, και έστω r0r_0 η παράλληλή της από την αρχή. Από τον ορισμό της γωνίας κλίσης, η r0r_0 περιέχει την τελική πλευρά της α\alpha, και ειδικότερα το σημείο P(α)P(\alpha)· αν η rr δεν είναι κατακόρυφη, η r0r_0 έχει την ίδια κλίση, επειδή δύο παράλληλες ευθείες έχουν την ίδια κλίση, σύμφωνα με το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας. Στο σχήμα, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    Η ευθεία r0r_0 είναι κατακόρυφη αν και μόνο αν τα δύο σημεία της έχουν την ίδια τετμημένη, δηλαδή αν cos⁡α=0\cos \alpha = 0. Στο [0,π)\ico{0}{\pi}, η μόνη ρίζα του συνημιτόνου είναι το π2\frac{\pi}{2}· και η rr είναι κατακόρυφη ακριβώς όταν είναι κατακόρυφη η παράλληλή της.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Αν η rr δεν είναι κατακόρυφη, η κλίση της είναι η κλίση της r0r_0, δηλαδή το πηλίκο της διαφοράς των τεταγμένων προς τη διαφορά των τετμημένων των δύο σημείων της.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Αντίστροφα, έστω mm η κλίση της rr. Από όσα αποδείχθηκαν ακριβώς πιο πάνω, η γωνία κλίσης α\alpha είναι μια γωνία του [0,π)\ico{0}{\pi} με εφαπτομένη mm. Σύμφωνα με το μάθημα για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι γωνίες με εφαπτομένη mm είναι οι αριθμοί arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, και ακριβώς ένας από αυτούς ανήκει στο [0,π)\ico{0}{\pi}: επειδή το arctan⁡m\arctan m ανήκει στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, η γωνία αυτή είναι arctan⁡m\arctan m αν m≥0m \ge 0, και π+arctan⁡m\pi + \arctan m αν m<0m < 0. Στο σχήμα, η ευθεία y=−xy = -x έχει γωνία κλίσης π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Για παράδειγμα, η ευθεία y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 έχει γωνία κλίσης arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, και η ευθεία y=−xy = -x γωνία κλίσης π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Το πρόσημο της κλίσης διακρίνει έτσι τις ευθείες που ανεβαίνουν, με οξεία γωνία κλίσης, από εκείνες που κατεβαίνουν, με αμβλεία γωνία κλίσης.