Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή

Περίληψη

Αυτό το μάθημα συνάγει από τους τύπους του ημιτόνου και του συνημιτόνου του αθροίσματος και της διαφοράς εκείνους που μετατρέπουν γινόμενα ημιτόνων και συνημιτόνων σε αθροίσματα και, αντίστροφα, αθροίσματα σε γινόμενα, και ερμηνεύει τους τελευταίους στον μοναδιαίο κύκλο μέσω του μέσου μιας χορδής. Αποδεικνύει ότι κάθε παράσταση asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x γράφεται στην αρμονική μορφή Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), με R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} και μια γωνία φ\varphi μοναδική στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}, συνάγει από αυτό το σύνολο τιμών της με δύο τρόπους, από τους οποίους ο ένας είναι η ανισότητα Κωσί-Σβαρτς, και καταλήγει ότι η επαλληλία δύο ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας είναι πάλι ταλάντωση. Εξηγεί τα διακροτήματα ως γινόμενο μιας αργής ταλάντωσης επί μια γρήγορη και, πολλαπλασιάζοντας με έναν παράγοντα που κάνει το άθροισμα τηλεσκοπικό, υπολογίζει σε κλειστή μορφή τα αθροίσματα ημιτόνων και συνημιτόνων γωνιών σε αριθμητική πρόοδο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συνάγονται οι τύποι μετατροπής γινομένου σε άθροισμα και αθροίσματος σε γινόμενο από τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, και να ερμηνεύονται οι τελευταίοι στον μοναδιαίο κύκλο.
  2. Να γράφεται κάθε παράσταση asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x στην αρμονική μορφή, να αποδεικνύονται η ύπαρξη και η μοναδικότητα του πλάτους και της γωνίας της, και να χρησιμοποιείται για την εύρεση συνόλων τιμών, μεγίστων και ελαχίστων.
  3. Να αναγνωρίζεται η επαλληλία δύο ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας ως ταλάντωση, και να περιγράφονται τα διακροτήματα μέσω της περιβάλλουσάς τους.
  4. Να υπολογίζονται αθροίσματα ημιτόνων και συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο μέσω τηλεσκοπικών αθροισμάτων, και να εφαρμόζονται αυτοί οι μετασχηματισμοί στην απλοποίηση παραστάσεων και στην απόδειξη ταυτοτήτων.

Από τα γινόμενα στα αθροίσματα

Στο μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς αποδείχθηκαν, για όλους τους πραγματικούς α\alpha και β\beta, οι τέσσερις ισότητες που ακολουθούν:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Οι δύο τύποι κάθε ζεύγους περιέχουν τα ίδια δύο γινόμενα και διαφέρουν μόνο στο πρόσημο του δεύτερου. Αν είναι έτσι, όταν τους προσθέτουμε ή τους αφαιρούμε, το ένα από τα γινόμενα απαλείφεται και το άλλο διπλασιάζεται: κάθε γινόμενο ενός ημιτόνου ή συνημιτόνου επί ένα άλλο εκφράζεται ως ημιάθροισμα ή ημιδιαφορά ημιτόνων ή συνημιτόνων. Αυτοί οι τύποι, που ονομάζονται τύποι της προσθαφαίρεσης (από τα ελληνικά, «πρόσθεση και αφαίρεση»), χρησίμευσαν στους αστρονόμους του τέλους του 16ου αιώνα, ανάμεσά τους στον Τύχο Μπράχε, για να ανάγουν τον πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών σε προσθέσεις και αφαιρέσεις, συμβουλευόμενοι πίνακες ημιτόνων, πριν ο Τζον Νάπιερ δημοσιεύσει το 1614 τους πίνακες λογαρίθμων του.

ΘεώρημαΜετατροπή γινομένου σε άθροισμα

Για όλους τους πραγματικούς α\alpha και β\beta, το γινόμενο sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta είναι το ημιάθροισμα των sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) και sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta)· το γινόμενο cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta είναι η ημιδιαφορά των ίδιων ημιτόνων· το γινόμενο cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta είναι το ημιάθροισμα των cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) και cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), και το γινόμενο sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta είναι η ημιδιαφορά τους.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Κάθε τύπος προκύπτει προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους δύο τύπους ενός ζεύγους. Το σχήμα τους απεικονίζει με α=2x\alpha = 2x και β=x\beta = x: το γινόμενο, με παχιά γραμμή, συμπίπτει με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των δύο ταλαντώσεων συχνοτήτων 33 και 11, με λεπτή γραμμή.

Απόδειξη

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Προσθέτουμε τους τύπους του ημιτόνου του αθροίσματος και του ημιτόνου της διαφοράς: οι όροι cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta απαλείφονται. Διαιρώντας με 22 προκύπτει ο πρώτος τύπος.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Αν αντί να τους προσθέσουμε τους αφαιρέσουμε, απαλείφονται οι όροι sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Με τους τύπους του συνημιτόνου εργαζόμαστε όμοια. Όταν τους προσθέτουμε, απαλείφονται τα γινόμενα ημιτόνων.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    Όταν αφαιρούμε τον τύπο του συνημιτόνου του αθροίσματος από τον τύπο του συνημιτόνου της διαφοράς, απαλείφονται τα γινόμενα συνημιτόνων.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    Με β=α\beta = \alpha, και αφού sin⁡0=0\sin 0 = 0 και cos⁡0=1\cos 0 = 1, προκύπτουν ξανά ο τύπος της διπλάσιας γωνίας του ημιτόνου και οι τύποι αποτετραγωνισμού του μαθήματος για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς. Στο σχήμα, το sin⁡2x\sin^2 x ταλαντώνεται με περίοδο π\pi γύρω από το 12\frac{1}{2}.

Οι τύποι επιτρέπουν να υπολογιστούν γινόμενα που δεν ανάγονται σε χαρακτηριστικές τιμές παράγοντα προς παράγοντα. Για παράδειγμα, με α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} και β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, το άθροισμα των γωνιών είναι π2\frac{\pi}{2} και η διαφορά τους είναι π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Ωστόσο, το κύριο ενδιαφέρον αυτών των τύπων είναι άλλο: ένα γινόμενο δύο ταλαντώσεων, που είναι δύσκολο να το φανταστεί κανείς, είναι η επαλληλία δύο ταλαντώσεων των οποίων οι συχνότητες είναι το άθροισμα και η διαφορά των συχνοτήτων των παραγόντων. Έτσι, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).