Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας

Περίληψη

Το μάθημα αυτό αποδεικνύει τους τύπους που εκφράζουν το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς γωνιών μέσω των τριγωνομετρικών αριθμών κάθε γωνίας. Ο πρώτος, ο τύπος του συνημιτόνου διαφοράς, προκύπτει υπολογίζοντας με δύο τρόπους το μήκος μιας χορδής του μοναδιαίου κύκλου: με τον τύπο της απόστασης σε καρτεσιανές συντεταγμένες και με εκείνον της απόστασης σε πολικές συντεταγμένες, ο οποίος δείχνει ότι η χορδή εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των γωνιών. Από αυτόν προκύπτουν, με την αρτιότητα και με τις συμμετρίες των συμπληρωματικών γωνιών, οι υπόλοιποι τύποι αθροίσματος και διαφοράς, και από αυτούς οι τύποι της διπλάσιας γωνίας, οι τύποι αποτετραγωνισμού, οι τύποι της μισής γωνίας, με το πρόσημο να καθορίζεται από το τεταρτημόριο, και οι τύποι της τριπλάσιας γωνίας. Με αυτούς υπολογίζονται ακριβείς τιμές, όπως εκείνες του π12\frac{\pi}{12} και του π5\frac{\pi}{5}. Τέλος, η αντικατάσταση t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} εκφράζει το ημίτονο και το συνημίτονο ως ρητά κλάσματα του tt, δίνει μια ρητή παραμέτρηση του μοναδιαίου κύκλου και, μέσω αυτής, τον τύπο που παράγει όλες τις πυθαγόρειες τριάδες.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύει τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς μέσω του μήκους μιας χορδής του μοναδιαίου κύκλου, και να συνάγει από αυτόν τους τύπους του ημιτόνου και της εφαπτομένης αθροίσματος ή διαφοράς, με τις συνθήκες ισχύος τους.
  2. Να συνάγει τους τύπους της διπλάσιας γωνίας, του αποτετραγωνισμού, της μισής γωνίας και της τριπλάσιας γωνίας, και να επιλέγει το πρόσημο μιας τετραγωνικής ρίζας σύμφωνα με το τεταρτημόριο της γωνίας.
  3. Να υπολογίζει ακριβείς τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών μη αξιοσημείωτων γωνιών, όπως π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} και π5\frac{\pi}{5}, ανάγοντάς τες σε πολυωνυμικές εξισώσεις όταν χρειάζεται.
  4. Να εκφράζει το ημίτονο και το συνημίτονο μέσω της εφαπτομένης της μισής γωνίας, να βρίσκει τη ρητή παραμέτρηση του μοναδιαίου κύκλου και να παράγει με αυτήν όλες τις πυθαγόρειες τριάδες.

Το συνημίτονο διαφοράς

Οι συμμετρίες που αποδείχθηκαν στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τον μοναδιαίο κύκλο, όπως cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta ή sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας με εκείνους μιας άλλης, που προκύπτει αν της προσθέσουμε ή της αφαιρέσουμε μια γωνία πολλαπλάσια της ορθής. Ωστόσο, οι ισότητες αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις ενός γενικού προβλήματος: να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β\alpha + \beta και του α−β\alpha - \beta από εκείνους του α\alpha και του β\beta, όποιοι κι αν είναι αυτοί οι αριθμοί. Αξίζει να σημειωθεί από την αρχή ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν επιμερίζονται ως προς το άθροισμα: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, ενώ sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, που είναι μεγαλύτερο από 11. Ο σωστός τύπος συνδυάζει ημίτονα και συνημίτονα, και το κλειδί για να τον βρούμε είναι μια χορδή του μοναδιαίου κύκλου.

Όπως στο αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου του μαθήματος για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, το P(θ)P(\theta) συμβολίζει το σημείο του μοναδιαίου κύκλου στο οποίο φτάνουμε διανύοντας από το (1,0)(1, 0) ένα τόξο μήκους ∣θ∣\abs{\theta}, αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού αν θ>0\theta > 0 και κατά τη φορά τους αν θ<0\theta < 0· από τον ορισμό εκείνου του μαθήματος, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

ΘεώρημαΣυνημίτονο διαφοράς

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α\alpha και β\beta ισχύει cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

Η απόσταση των P(α)P(\alpha) και P(β)P(\beta) υπολογίζεται πρώτα με τις καρτεσιανές συντεταγμένες τους και έπειτα με τις πολικές συντεταγμένες τους, που είναι (1,α)(1, \alpha) και (1,β)(1, \beta)· εξισώνοντας τα δύο αποτελέσματα προκύπτει ο τύπος.

Απόδειξη

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Έστω dd η απόσταση των P(α)P(\alpha) και P(β)P(\beta). Από τον τύπο της απόστασης του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας, το τετράγωνό της είναι το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών των συντεταγμένων.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Αναπτύσσουμε τα δύο τετράγωνα και ομαδοποιούμε το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε γωνίας· από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, κάθε ομάδα ισούται με 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    Από το θεώρημα της απόστασης σε πολικές συντεταγμένες, του μαθήματος για τις πολικές συντεταγμένες, εφαρμοσμένο με r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, η ίδια απόσταση εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των γωνιών. Γεωμετρικά, η στροφή κατά γωνία −β-\beta γύρω από την αρχή των αξόνων φέρνει το P(β)P(\beta) στο (1,0)(1, 0) και το P(α)P(\alpha) στο P(α−β)P(\alpha - \beta), και διατηρεί τις αποστάσεις: οι δύο χορδές του σχήματος είναι ίσες.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις του d2d^2, αφαιρούμε 22 και διαιρούμε με −2-2.

Η απόδειξη δεν απαιτεί καμία συνθήκη για τα α\alpha και β\beta: το θεώρημα της απόστασης σε πολικές συντεταγμένες ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες, και αν P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) και οι δύο εκφράσεις του d2d^2 είναι μηδενικές. Ούτε υπάρχει φαύλος κύκλος: εκείνο το θεώρημα αποδείχθηκε με τον νόμο των συνημιτόνων, ο οποίος με τη σειρά του προέκυψε τοποθετώντας το τρίγωνο σε ένα σύστημα συντεταγμένων, χωρίς τύπους αθροίσματος γωνιών. Ο δρόμος μπορεί να διανυθεί και αντίστροφα: αν οι πλευρές bb και cc ενός τριγώνου ξεκινούν από την αρχή των αξόνων με γωνίες κλίσης β\beta και α\alpha, το τετράγωνο της απόστασης των άκρων τους είναι b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), και όποιος διαθέτει τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς παίρνει από αυτό τον νόμο των συνημιτόνων του μαθήματος για την επίλυση τριγώνων.