Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες

Περίληψη

Αυτό το μάθημα ανοίγει την αναλυτική τριγωνομετρία, η οποία μελετά τις αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ορίζει με ακρίβεια τι είναι ταυτότητα, μια ισότητα που ισχύει σε όλο το κοινό πεδίο ορισμού των δύο μελών της, και συγκεντρώνει τις θεμελιώδεις ταυτότητες: των αντίστροφων, του πηλίκου, τις πυθαγόρειες, της αρτιότητας και των συμπληρωματικών γωνιών, οι οποίες διαβάζονται επιπλέον ως μήκη ευθύγραμμων τμημάτων στον μοναδιαίο κύκλο. Διδάσκει τη μέθοδο για την απόδειξη μιας ταυτότητας, μετασχηματίζοντας το ένα μέλος στο άλλο ή και τα δύο στην ίδια παράσταση, και δείχνει γιατί δεν είναι έγκυρο να ξεκινά κανείς από την ταυτότητα και να την υψώνει στο τετράγωνο· μία μόνο εξαίρεση, ένα αντιπαράδειγμα, αρκεί για να ανασκευαστεί μια ψευδής ταυτότητα. Εκφράζει κάθε συνάρτηση συναρτήσει μιας άλλης, με το πρόσημο που καθορίζει το τεταρτημόριο, απλοποιεί παραστάσεις προσέχοντας το πεδίο ορισμού, μετατρέπει αλγεβρικές ρίζες σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις με αντικαταστάσεις και, απαλείφοντας την παράμετρο, αναγνωρίζει στο σημείο (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) μια έλλειψη και στο σημείο (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) μια υπερβολή.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζεται με ακρίβεια η τριγωνομετρική ταυτότητα, να προσδιορίζεται το κοινό πεδίο ορισμού της και να διακρίνεται από μια εξίσωση, και να συγκεντρώνονται και να αποδεικνύονται οι θεμελιώδεις ταυτότητες, και στη γεωμετρική ανάγνωσή τους ως ευθύγραμμα τμήματα.
  2. Να αποδεικνύονται ταυτότητες μετασχηματίζοντας το ένα μέλος στο άλλο ή και τα δύο σε μια κοινή παράσταση, να αναγνωρίζονται άκυροι συλλογισμοί και να ανασκευάζεται μια ψευδής ταυτότητα με ένα αντιπαράδειγμα.
  3. Να εκφράζεται κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση συναρτήσει μιας άλλης, με το πρόσημο που αντιστοιχεί στο τεταρτημόριο, και να απλοποιούνται παραστάσεις διατηρώντας το πεδίο ορισμού τους.
  4. Να χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις για τον μετασχηματισμό παραστάσεων με ρίζες, και να απαλείφεται η παράμετρος στις τριγωνομετρικές παραμετρήσεις της έλλειψης και της υπερβολής.

Τι είναι ταυτότητα

Ορισμένες ισότητες μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό, όπως η sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τον μοναδιαίο κύκλο· άλλες, όπως η sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, μόνο για ορισμένες τιμές, τις οποίες μάθαμε να βρίσκουμε στο μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η διαφορά είναι ουσιαστική: η πρώτη ισχυρίζεται κάτι για όλους τους αριθμούς, ενώ η δεύτερη θέτει ένα ερώτημα. Ωστόσο, η φράση «για κάθε πραγματικό αριθμό» χρειάζεται μια διευκρίνιση, επειδή πολλές τριγωνομετρικές παραστάσεις δεν ορίζονται σε όλους τους αριθμούς.

Τριγωνομετρική ταυτότητα είναι μια ισότητα μεταξύ δύο παραστάσεων κατασκευασμένων με τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η οποία ισχύει για όλες τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες ορίζονται και τα δύο μέλη. Το σύνολο αυτών των τιμών είναι το κοινό πεδίο ορισμού της ταυτότητας. Μια ισότητα που ισχύει μόνο για ορισμένες τιμές του κοινού πεδίου ορισμού είναι εξίσωση, και αυτές οι τιμές είναι οι λύσεις της.

Το πεδίο ορισμού δεν είναι λεπτομέρεια. Η εφαπτομένη ορίζεται όπου το συνημίτονο δεν μηδενίζεται, και η συνεφαπτομένη, όπου δεν μηδενίζεται το ημίτονο· άρα το γινόμενό τους ορίζεται ακριβώς όταν το xx δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π2\frac{\pi}{2}, και εκεί ισούται με 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

Στα πολλαπλάσια του π2\frac{\pi}{2} η ταυτότητα δεν ισχυρίζεται τίποτα, επειδή το πρώτο μέλος της δεν παριστάνει κανέναν αριθμό. Με τον ίδιο τρόπο, η sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x είναι ταυτότητα στο κοινό πεδίο ορισμού της, το οποίο αποκλείει τα πολλαπλάσια του π2\frac{\pi}{2}· ωστόσο, οι συναρτήσεις f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} και g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x δεν είναι ίσες, επειδή, σύμφωνα με το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις πράξεις συναρτήσεων, δύο ίσες συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, και η δεύτερη ορίζεται, για παράδειγμα, στο x=0x = 0. Μια ταυτότητα, συνεπώς, συγκρίνει δύο παραστάσεις μόνο εκεί όπου έχουν και οι δύο νόημα.

Οι θεμελιώδεις ταυτότητες

Οι ταυτότητες που ακολουθούν προκύπτουν άμεσα από τους ορισμούς και από τα θεωρήματα της ενότητας που προηγήθηκε· όλες οι άλλες συνάγονται από αυτές.

ΘεώρημαΘεμελιώδεις ταυτότητες

Στο κοινό πεδίο ορισμού κάθε ισότητας ισχύουν οι ακόλουθες ταυτότητες των αντίστροφων, του πηλίκου και οι πυθαγόρειες. Επιπλέον, το ημίτονο, η εφαπτομένη, η συντέμνουσα και η συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις, και το συνημίτονο και η τέμνουσα είναι άρτιες συναρτήσεις· και κάθε συνάρτηση του π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta ισούται με τη συμπληρωματική της συνάρτηση του θ\theta, όπου το ημίτονο και το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, η τέμνουσα και η συντέμνουσα είναι συμπληρωματικές η μία της άλλης.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Όλα διαβάζονται στο σημείο P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: οι τέσσερις υπόλοιπες συναρτήσεις ορίστηκαν εκεί ως πηλίκα των συντεταγμένων του, και το θεώρημα των συμμετριών του ημιτόνου και του συνημιτόνου, που αποδείχθηκε σε εκείνο το μάθημα, δίνει τις ανακλάσεις του P(θ)P(\theta) ως προς τον άξονα xx και ως προς την ευθεία y=xy = x. Οι υπόλοιπες ταυτότητες προκύπτουν παίρνοντας πηλίκα και αντίστροφους. Το σχήμα χρησιμοποιεί μια οξεία γωνία.

Απόδειξη

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Οι ταυτότητες των αντίστροφων και του πηλίκου είναι οι ορισμοί της εφαπτομένης, της συνεφαπτομένης, της τέμνουσας και της συντέμνουσας: καθεμία ορίζεται όπου δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής της, και σε αυτό το πεδίο ορισμού το γινόμενο μιας συνάρτησης επί την αντίστροφή της ισούται με 11. Στο σχήμα, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι οι συντεταγμένες του P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    Το σημείο P(θ)P(\theta) απέχει 11 από την αρχή: αυτή είναι η πρώτη πυθαγόρεια ταυτότητα, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Όπου cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, διαιρούνται τα δύο μέλη της με cos⁡2θ\cos^2 \theta, και όπου sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, με sin⁡2θ\sin^2 \theta· από τις ταυτότητες του παραπάνω βήματος προκύπτουν οι άλλες δύο.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    Η ανάκλαση του P(θ)P(\theta) ως προς τον άξονα xx είναι το P(−θ)P(-\theta): από το θεώρημα των συμμετριών, το συνημίτονο είναι άρτια και το ημίτονο περιττή συνάρτηση. Ειδικότερα, το −θ-\theta ανήκει στο πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης ακριβώς όταν ανήκει και το θ\theta, επειδή οι ρίζες του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι συμμετρικές.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    Παίρνοντας αντίστροφους και πηλίκα, ένα πρόσημο μείον εμφανίζεται στις συναρτήσεις των οποίων η έκφραση περιέχει το ημίτονο μία μόνο φορά: η τέμνουσα είναι άρτια, και η συντέμνουσα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι περιττές.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    Η ανάκλαση του P(θ)P(\theta) ως προς την ευθεία y=xy = x είναι το P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): από το θεώρημα των συμμετριών, αυτή η ανάκλαση εναλλάσσει το ημίτονο και το συνημίτονο.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    Παίρνοντας αντίστροφους και πηλίκα εναλλάσσονται επίσης η τέμνουσα και η συντέμνουσα, και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Τα πεδία ορισμού αντιστοιχούν: το π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta ανήκει στο πεδίο ορισμού της τέμνουσας αν και μόνο αν το θ\theta ανήκει σε εκείνο της συντέμνουσας, επειδή cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, και το ίδιο συμβαίνει με τις υπόλοιπες.

Οι έξι συναρτήσεις ως ευθύγραμμα τμήματα

Τα ονόματα της εφαπτομένης και της τέμνουσας προέρχονται από τη γεωμετρία: για μια οξεία γωνία είναι μήκη ευθύγραμμων τμημάτων πάνω σε μια εφαπτόμενη ευθεία και πάνω σε μια τέμνουσα ευθεία του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό το κλασικό σχήμα συγκεντρώνει σε ένα μόνο σχέδιο τις έξι συναρτήσεις και τις τρεις πυθαγόρειες ταυτότητες.

ΘεώρημαΟι έξι τριγωνομετρικοί αριθμοί ως ευθύγραμμα τμήματα

Έστω 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP το σημείο P(θ)P(\theta) του μοναδιαίου κύκλου, QQ το ίχνος της καθέτου του στον άξονα xx, A=(1,0)A = (1, 0) και B=(0,1)B = (0, 1). Η ευθεία που περιέχει την τελική πλευρά τέμνει την κατακόρυφη εφαπτομένη ευθεία στο AA σε ένα σημείο TT, και την οριζόντια εφαπτομένη ευθεία στο BB σε ένα σημείο SS. Τότε το συνημίτονο, το ημίτονο, η εφαπτομένη, η τέμνουσα, η συνεφαπτομένη και η συντέμνουσα του θ\theta είναι, αντίστοιχα, τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων από το OO ως το QQ, από το QQ ως το PP, από το AA ως το TT, από το OO ως το TT, από το BB ως το SS και από το OO ως το SS· και το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο με κορυφές OO, AA και TT, και σε εκείνο με κορυφές OO, BB και SS, είναι, αντίστοιχα, η δεύτερη και η τρίτη πυθαγόρεια ταυτότητα.

Διατρέχουμε το σχήμα ευθύγραμμο τμήμα προς ευθύγραμμο τμήμα. Το εργαλείο είναι εκείνο που στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς έδωσε τη σημασία της εφαπτομένης: η ευθεία που περιέχει την τελική πλευρά διέρχεται από την αρχή και έχει κλίση tan⁡θ\tan \theta, ώστε η εξίσωσή της είναι y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Απόδειξη

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Εξ ορισμού, οι συντεταγμένες του PP είναι το συνημίτονο και το ημίτονο· το οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα από το OO ως το QQ έχει μήκος την τετμημένη, και το κατακόρυφο από το QQ ως το PP, την τεταγμένη, που είναι και οι δύο θετικές στο πρώτο τεταρτημόριο.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    Η εφαπτομένη ευθεία του κύκλου στο AA είναι η ευθεία x=1x = 1. Αντικαθιστώντας x=1x = 1 στην εξίσωση της τελικής πλευράς προκύπτει το TT: το ευθύγραμμο τμήμα από το AA ως το TT, πάνω στην εφαπτόμενη ευθεία, έχει μήκος tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    Το σημείο TT είναι το σημείο P(θ)P(\theta) πολλαπλασιασμένο επί sec⁡θ\sec \theta, επειδή sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Αφού το P(θ)P(\theta) απέχει 11 από την αρχή, το TT απέχει sec⁡θ\sec \theta: το ευθύγραμμο τμήμα από το OO ως το TT, πάνω στην τέμνουσα ευθεία, έχει μήκος την τέμνουσα.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    Το τρίγωνο με κορυφές OO, AA και TT είναι ορθογώνιο στο AA, με κάθετες πλευρές 11 και tan⁡θ\tan \theta και υποτείνουσα sec⁡θ\sec \theta. Το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό είναι η δεύτερη πυθαγόρεια ταυτότητα.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    Η εφαπτομένη ευθεία στο BB είναι η ευθεία y=1y = 1. Αντικαθιστώντας y=1y = 1 στην y=xtan⁡θy = x \tan \theta προκύπτει x=cot⁡θx = \cot \theta· και αφού csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, το σημείο SS είναι το P(θ)P(\theta) πολλαπλασιασμένο επί csc⁡θ\csc \theta. Άρα το ευθύγραμμο τμήμα από το BB ως το SS έχει μήκος τη συνεφαπτομένη, και εκείνο από το OO ως το SS, τη συντέμνουσα.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    Το τρίγωνο με κορυφές OO, BB και SS είναι ορθογώνιο στο BB, με κάθετες πλευρές 11 και cot⁡θ\cot \theta και υποτείνουσα csc⁡θ\csc \theta: από αυτό έπεται η τρίτη πυθαγόρεια ταυτότητα. Η γωνία του στο OO έχει μέτρο π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, και ως προς αυτήν η συνεφαπτομένη του θ\theta είναι η απέναντι κάθετη πλευρά: είναι η εφαπτομένη της συμπληρωματικής γωνίας.

Στο σχήμα διαβάζεται επίσης ότι η τέμνουσα και η συντέμνουσα μιας οξείας γωνίας είναι μεγαλύτερες από 11, επειδή είναι υποτείνουσες τριγώνων με μία κάθετη πλευρά μήκους 11, και ότι η εφαπτομένη είναι μικρότερη από την τέμνουσα. Η πρώτη πυθαγόρεια ταυτότητα είναι, με τον ίδιο τρόπο, το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο με κορυφές OO, QQ και PP.