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Topos Uranos
Français

L’angle de deux droites et applications de la trigonométrie

Résumé

Cette leçon mesure avec la trigonométrie l’angle que forment deux droites du plan. Elle définit l’angle d’inclinaison d’une droite et démontre que sa tangente est la pente ; avec la formule de la tangente d’une différence, elle obtient la tangente de l’angle de deux droites à partir de leurs pentes, qui contient comme cas particulier la condition de perpendicularité, et avec le produit scalaire elle donne une seconde expression, valable aussi pour les droites verticales, dont l’accord avec la première est l’identité de Lagrange. Elle caractérise ensuite les bissectrices de deux droites comme le lieu géométrique des points équidistants de l’une et de l’autre, démontre qu’elles sont perpendiculaires et obtient avec elles le centre du cercle inscrit et le cercle inscrit d’un triangle. La dernière section réunit des applications : la hauteur d’un point inaccessible au moyen de la loi des sinus, le mouvement harmonique simple comme ombre d’un mouvement circulaire uniforme, la portée d’un projectile, qui est maximale à 45∘45^\circ et la même pour des angles complémentaires, et la loi de la réflexion comme propriété du plus court chemin.

Objectifs d’apprentissage

  1. Calculer l’angle d’inclinaison d’une droite et l’angle de deux droites, à partir de leurs pentes ou de leurs vecteurs directeurs, et reconnaître le parallélisme et la perpendicularité comme les cas extrêmes.
  2. Obtenir les équations des bissectrices de deux droites comme lieu géométrique de points équidistants, choisir la bissectrice intérieure d’un triangle et calculer le centre de son cercle inscrit et son cercle inscrit.
  3. Résoudre des problèmes de hauteurs et de distances avec des angles d’élévation et de dépression, en combinant la loi des sinus avec les formules d’addition.
  4. Décrire le mouvement harmonique simple, la portée d’un projectile et la réflexion de la lumière avec des fonctions trigonométriques, et déduire leurs propriétés des identités de cette unité.

L’angle d’inclinaison d’une droite

Dans la leçon du cours I sur l’équation de la droite, la direction d’une droite non verticale a été mesurée par un nombre, sa pente, et on a démontré que deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut −1-1. Cette condition reconnaît un angle particulier, l’angle droit, sans mesurer aucun angle. Dans la leçon sur les rapports trigonométriques, on a vu en outre que la tangente d’un angle est la pente de la droite qui contient son côté final. S’il en est ainsi, la pente est la tangente d’un angle, et les angles entre droites doivent pouvoir se calculer avec la trigonométrie.

L’angle d’inclinaison d’une droite est l’angle α\alpha, avec 0≤α<π0 \le \alpha < \pi, que forme le demi-axe positif des abscisses avec la droite, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis l’axe jusqu’à la droite. Les droites horizontales ont pour angle d’inclinaison 00, et les verticales, π2\frac{\pi}{2}.

Plus précisément, la parallèle à la droite menée par l’origine contient le côté final d’un certain angle α\alpha, et aussi celui de α+π\alpha + \pi, car les points P(α)P(\alpha) et P(α+π)P(\alpha + \pi) du cercle trigonométrique sont opposés ; exactement un des angles de la forme α+kπ\alpha + k\pi est dans [0,π)\ico{0}{\pi}, et c’est lui l’angle d’inclinaison. Deux droites sont parallèles ou confondues si et seulement si elles ont le même angle d’inclinaison, car alors, et seulement alors, elles ont la même parallèle par l’origine.

LemmeAngle d’inclinaison et pente

Une droite d’angle d’inclinaison α\alpha est verticale si et seulement si α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} ; si elle n’est pas verticale, sa pente est la tangente de son angle d’inclinaison. Réciproquement, l’angle d’inclinaison d’une droite de pente mm est arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, et π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

Tout se lit sur la parallèle à la droite menée par l’origine, qui contient le point P(α)P(\alpha) du cercle trigonométrique. La figure utilise les droites y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 et y=−xy = -x.

Démonstration

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    Soit rr une droite d’angle d’inclinaison α\alpha, et soit r0r_0 sa parallèle par l’origine. Par la définition de l’angle d’inclinaison, r0r_0 contient le côté final de α\alpha, et en particulier le point P(α)P(\alpha) ; si rr n’est pas verticale, r0r_0 a la même pente, car deux droites parallèles ont la même pente, d’après la leçon du cours I sur l’équation de la droite. Sur la figure, α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    La droite r0r_0 est verticale si et seulement si ses deux points ont la même abscisse, c’est-à-dire si cos⁡α=0\cos \alpha = 0. Dans [0,π)\ico{0}{\pi}, le seul zéro du cosinus est π2\frac{\pi}{2} ; et rr est verticale exactement lorsque sa parallèle l’est.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    Si rr n’est pas verticale, sa pente est celle de r0r_0, qui est le quotient de la différence des ordonnées par celle des abscisses de ses deux points.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    Réciproquement, soit mm la pente de rr. D’après l’étape ci-dessus, l’angle d’inclinaison α\alpha est un angle de [0,π)\ico{0}{\pi} dont la tangente est mm. D’après la leçon sur les équations trigonométriques, les angles de tangente mm sont les nombres arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi, et exactement un d’entre eux est dans [0,π)\ico{0}{\pi} : comme arctan⁡m\arctan m est dans (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, cet angle est arctan⁡m\arctan m si m≥0m \ge 0, et π+arctan⁡m\pi + \arctan m si m<0m < 0. Sur la figure, la droite y=−xy = -x a pour angle d’inclinaison π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Par exemple, la droite y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 a pour angle d’inclinaison arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}, et la droite y=−xy = -x, π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. Le signe de la pente distingue ainsi les droites qui montent, d’angle d’inclinaison aigu, de celles qui descendent, d’angle d’inclinaison obtus.