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Topos Uranos
Français

Rotation des axes et équation générale du second degré

Résumé

Cette leçon complète l’étude des coniques par le cas resté en suspens : l’équation du second degré qui contient un terme en xyxy. Elle établit, au moyen des coordonnées polaires et des formules de la différence, comment changent les coordonnées d’un point quand les axes tournent d’un angle θ\theta, et démontre que la rotation conserve les distances, de sorte qu’elle n’altère la forme d’aucune figure. Elle calcule les coefficients de l’équation générale après la rotation, démontre que l’angle qui vérifie cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} élimine le terme en xyxy et que la somme A+CA + C et le discriminant B2−4ACB^2 - 4AC ne changent pas par la rotation. Il en découle la classification de toutes les équations du second degré par le signe du discriminant : ellipses, paraboles et hyperboles, avec leurs cas dégénérés. Elle se termine en reconnaissant comme coniques tournées l’hyperbole xy=1xy = 1, une ellipse et une parabole dont les axes sont obliques.

Objectifs d’apprentissage

  1. Établir les formules qui relient les coordonnées d’un point dans deux repères cartésiens qui diffèrent d’une rotation, et démontrer que la rotation conserve les distances.
  2. Calculer les coefficients d’une équation du second degré après une rotation et choisir l’angle qui élimine le terme en xyxy.
  3. Démontrer que A+CA + C et B2−4ACB^2 - 4AC sont invariants par rotation et s’en servir pour obtenir la forme réduite sans substituer.
  4. Classer une équation générale du second degré par le signe de son discriminant, trouver ses éléments dans les coordonnées tournées et les exprimer dans les coordonnées initiales.

La rotation des axes

Dans la leçon du cours I sur les coniques, on a démontré que toute équation du second degré sans terme en xyxy représente une parabole, une ellipse, une hyperbole ou l’un de leurs cas dégénérés, dont les axes de symétrie sont parallèles aux axes de coordonnées. Or une ellipse dont le grand axe est porté par la droite y=xy = x a aussi une équation du second degré, et un terme en xyxy y apparaît. Pour la reconnaître, il convient de choisir un autre système d’axes, tourné par rapport au premier, dans lequel la courbe retrouve son équation canonique. On étudie maintenant comment changent les coordonnées d’un point quand on fait tourner les axes.

Soit un repère cartésien d’axes xx et yy, comme ceux de la leçon du cours I sur l’équation de la droite et les repères cartésiens, et soit θ\theta un nombre réel. Le repère tourné de l’angle θ\theta est le repère cartésien qui a la même origine et la même unité de longueur, dont le demi-axe positif des abscisses est la demi-droite issue de l’origine d’angle θ\theta en position standard, et dont le demi-axe positif des ordonnées est la demi-droite d’angle θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. Les nouvelles coordonnées s’écrivent en majuscules : un même point PP a pour coordonnées (x,y)(x, y) dans le repère initial et (X,Y)(X, Y) dans le repère tourné. Comme les deux repères ont la même orientation, on définit aussi des coordonnées polaires dans le repère tourné, avec le même pôle et le demi-axe positif des XX comme axe polaire.

ThéorèmeLes formules de rotation

Si un point a pour coordonnées (x,y)(x, y) dans un repère cartésien et (X,Y)(X, Y) dans le repère tourné de l’angle θ\theta, alors ses nouvelles coordonnées s’obtiennent à partir des coordonnées initiales, et les coordonnées initiales à partir des nouvelles, au moyen des formules ci-dessous.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

L’idée est qu’en coordonnées polaires, faire tourner les axes ne change pas la distance au pôle et ne fait que retrancher θ\theta de l’angle polaire ; les formules d’addition, démontrées dans la leçon sur les formules d’addition, font le reste.

Démonstration

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Si PP est l’origine, ses coordonnées sont nulles dans les deux repères et les formules sont vérifiées. Sinon, on prend une représentation polaire (r,φ)(r, \varphi) avec r>0r > 0 par rapport à l’axe polaire initial, comme dans la leçon sur les coordonnées polaires.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    Dans le repère tourné, le pôle est le même, de sorte que la distance de PP au pôle est encore rr. Soit ψ\psi un angle polaire de PP dans le repère tourné. Sur le cercle trigonométrique, le nouvel axe polaire passe par P(θ)P(\theta) ; parcourir à partir de là un arc ψ\psi conduit, par la propriété de concaténation de l’axiome du parcours de la leçon sur les angles et leur mesure, à P(θ+ψ)P(\theta + \psi), qui doit être le point P(φ)P(\varphi) de la demi-droite qui va du pôle à PP. Par le lemme des angles coterminaux, θ+ψ\theta + \psi et φ\varphi diffèrent d’un multiple de 2π2\pi, de sorte qu’on peut prendre ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    On développe le cosinus de la différence et on reconnaît dans chaque terme les coordonnées initiales.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    De même, avec le sinus de la différence.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Réciproquement, l’angle initial est la somme φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta ; les formules de la somme donnent les coordonnées initiales en fonction des nouvelles.

Les deux couples de formules ont la même structure : le second s’obtient à partir du premier en remplaçant θ\theta par −θ-\theta, car le repère initial est celui qu’on obtient en faisant tourner le nouveau de l’angle −θ-\theta. Par exemple, avec θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, le point (1,1)(1, 1) a pour nouvelles coordonnées X=2X = \sqrt{2} et Y=0Y = 0 : il est sur le nouvel axe des abscisses, à la distance 2\sqrt{2} de l’origine. Il convient de ne pas confondre la rotation des axes avec la rotation des points : faire tourner les axes de l’angle θ\theta laisse les points immobiles et change leurs noms, et le résultat est le même que de laisser les axes immobiles et de faire tourner tout le plan de l’angle −θ-\theta.

LemmeLa rotation conserve les distances

La distance entre deux points, calculée avec leurs coordonnées dans le repère tourné, coïncide avec celle qu’on calcule avec leurs coordonnées initiales.

Le fait a déjà été observé dans la leçon sur les coordonnées polaires : la distance entre deux points ne dépend de leurs angles polaires qu’à travers leur différence, et faire tourner le plan revient à ajouter une constante à ces angles. On le vérifie ici directement en coordonnées cartésiennes, avec les formules de rotation et l’identité pythagoricienne de la leçon sur les rapports trigonométriques.

Démonstration

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Soient P1P_1 et P2P_2 deux points, de coordonnées (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2) dans le repère initial et (X1,Y1)(X_1, Y_1) et (X2,Y2)(X_2, Y_2) dans le repère tourné. On soustrait les formules de rotation écrites pour chaque point, avec u=x1−x2u = x_1 - x_2 et v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    On élève au carré et on additionne. Les doubles produits, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta et −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, s’annulent.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Par l’identité pythagoricienne, chaque parenthèse vaut 11, et il reste le carré de la distance initiale.

Le lemme a une conséquence qui justifie tout ce qui vient. La parabole, l’ellipse et l’hyperbole ont été définies dans les leçons antérieures par des propriétés de distances aux foyers et aux directrices ; comme la rotation conserve les distances, une courbe qui, dans le repère tourné, est une ellipse de demi-axes aa et bb est, vue dans le repère initial, une ellipse de mêmes demi-axes, bien que ses axes de symétrie soient obliques. Il en va de même pour les autres coniques, pour leurs foyers, leurs sommets et leurs asymptotes, qui se transportent d’un repère à l’autre avec les formules de rotation.