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Topos Uranos
Français

Formules d’addition, angle double et angle moitié

Résumé

Cette leçon démontre les formules qui expriment le sinus, le cosinus et la tangente d’une somme ou d’une différence d’angles au moyen des rapports de chaque angle. La première, celle du cosinus d’une différence, s’obtient en calculant de deux manières la longueur d’une corde du cercle trigonométrique : avec la formule de la distance en coordonnées cartésiennes et avec celle de la distance en coordonnées polaires, qui montre que la corde ne dépend que de la différence des angles. On en déduit, avec la parité et avec les symétries des angles complémentaires, les autres formules d’addition, et de celles-ci, les formules de l’angle double, les formules de linéarisation, les formules de l’angle moitié, avec le signe fixé par le quadrant, et celles de l’angle triple. Elles permettent de calculer des valeurs exactes, comme celles de π12\frac{\pi}{12} et π5\frac{\pi}{5}. Enfin, la substitution t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} exprime le sinus et le cosinus comme des fractions rationnelles en tt, donne un paramétrage rationnel du cercle trigonométrique et, avec lui, la formule qui engendre tous les triplets pythagoriciens.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer la formule du cosinus d’une différence au moyen de la longueur d’une corde du cercle trigonométrique, et en déduire celles du sinus et de la tangente d’une somme ou d’une différence, avec leurs conditions de validité.
  2. Déduire les formules de l’angle double, de linéarisation, de l’angle moitié et de l’angle triple, et choisir le signe d’une racine carrée selon le quadrant de l’angle.
  3. Calculer des valeurs exactes des rapports trigonométriques d’angles non remarquables, comme π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} et π5\frac{\pi}{5}, en les ramenant à des équations polynomiales lorsque c’est nécessaire.
  4. Exprimer le sinus et le cosinus au moyen de la tangente de l’angle moitié, obtenir le paramétrage rationnel du cercle trigonométrique et engendrer avec lui tous les triplets pythagoriciens.

Le cosinus d’une différence

Les symétries démontrées dans la leçon sur les rapports trigonométriques et le cercle trigonométrique, comme cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta ou sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, relient les rapports d’un angle à ceux d’un autre angle obtenu en lui ajoutant ou en lui retranchant un angle quadrantal. Or ces égalités sont des cas particuliers d’un problème général : calculer les rapports de α+β\alpha + \beta et de α−β\alpha - \beta à partir de ceux de α\alpha et de β\beta, quels que soient ces nombres. Il convient de remarquer dès le départ que les rapports ne se distribuent pas sur la somme : sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, tandis que sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, qui est strictement supérieur à 11. La formule correcte mêle sinus et cosinus, et la clé pour l’obtenir est une corde du cercle trigonométrique.

Comme dans l’axiome du parcours par longueur d’arc de la leçon sur les angles et leur mesure, P(θ)P(\theta) désigne le point du cercle trigonométrique que l’on atteint en parcourant depuis (1,0)(1, 0) un arc de longueur ∣θ∣\abs{\theta}, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si θ>0\theta > 0 et dans le sens des aiguilles d’une montre si θ<0\theta < 0 ; d’après la définition de la leçon citée, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

ThéorèmeCosinus d’une différence

Pour tous nombres réels α\alpha et β\beta, on a cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

On calcule la distance entre P(α)P(\alpha) et P(β)P(\beta) d’abord avec leurs coordonnées cartésiennes, puis avec leurs coordonnées polaires, qui sont (1,α)(1, \alpha) et (1,β)(1, \beta) ; en égalant les deux résultats, on obtient la formule.

Démonstration

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Soit dd la distance entre P(α)P(\alpha) et P(β)P(\beta). D’après la formule de la distance de la leçon du cours I sur l’équation de la droite, son carré est la somme des carrés des différences des coordonnées.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    On développe les deux carrés et on regroupe le sinus et le cosinus de chaque angle ; d’après l’identité pythagoricienne, chaque groupe vaut 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    D’après le théorème de la distance en coordonnées polaires, de la leçon sur les coordonnées polaires, appliqué avec r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, la même distance ne dépend que de la différence des angles. Géométriquement, la rotation d’angle −β-\beta autour de l’origine envoie P(β)P(\beta) sur (1,0)(1, 0) et P(α)P(\alpha) sur P(α−β)P(\alpha - \beta), et conserve les distances : les deux cordes de la figure sont égales.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    On égale les deux expressions de d2d^2, on retranche 22 et on divise par −2-2.

La démonstration n’exige aucune condition sur α\alpha et β\beta : le théorème de la distance en coordonnées polaires vaut pour des angles quelconques, et si P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) les deux expressions de d2d^2 sont nulles. Il n’y a pas non plus de cercle vicieux : ce théorème a été démontré avec la loi des cosinus, qui à son tour a été obtenue en plaçant le triangle dans un repère, sans utiliser de formules d’addition des angles. Le chemin peut aussi être parcouru en sens inverse : si les côtés bb et cc d’un triangle partent de l’origine avec des inclinaisons β\beta et α\alpha, le carré de la distance entre leurs extrémités est b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), et qui dispose de la formule du cosinus d’une différence en tire la loi des cosinus de la leçon sur la résolution des triangles.