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Topos Uranos
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Identités trigonométriques fondamentales

Résumé

Cette leçon ouvre la trigonométrie analytique, qui étudie les relations algébriques entre les fonctions trigonométriques. Elle définit avec précision ce qu’est une identité, une égalité vraie sur tout l’ensemble de définition commun de ses deux membres, et réunit les identités fondamentales : les identités des inverses, du quotient, pythagoriciennes, de parité et des cofonctions, qui se lisent en outre comme longueurs de segments sur le cercle trigonométrique. Elle enseigne la méthode pour démontrer une identité, en transformant un membre en l’autre ou les deux en une même expression, et montre pourquoi il n’est pas valide de partir de l’identité et de l’élever au carré ; une seule exception, un contre-exemple, suffit à réfuter une identité fausse. Elle exprime chaque fonction en fonction d’une autre, avec le signe que fixe le quadrant, simplifie des expressions en veillant à l’ensemble de définition, convertit des racines algébriques en fonctions trigonométriques au moyen de substitutions et, en éliminant le paramètre, reconnaît dans le point (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) une ellipse et dans le point (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) une hyperbole.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir avec précision une identité trigonométrique, déterminer son ensemble de définition commun et la distinguer d’une équation, et réunir et démontrer les identités fondamentales, aussi dans leur lecture géométrique comme segments.
  2. Démontrer des identités en transformant un membre en l’autre ou les deux en une expression commune, reconnaître des raisonnements non valides et réfuter une identité fausse par un contre-exemple.
  3. Exprimer chaque fonction trigonométrique en fonction d’une autre, avec le signe qui correspond au quadrant, et simplifier des expressions en conservant leur ensemble de définition.
  4. Employer des substitutions trigonométriques pour transformer des expressions avec des racines, et éliminer le paramètre dans les paramétrages trigonométriques de l’ellipse et de l’hyperbole.

Ce qu’est une identité

Certaines égalités entre fonctions trigonométriques sont vraies pour tout nombre réel, comme sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, démontrée dans la leçon sur les rapports trigonométriques et le cercle trigonométrique ; d’autres, comme sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, seulement pour certaines valeurs, que la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques a appris à trouver. La différence est de nature : la première affirme quelque chose de tous les nombres, et la seconde pose une question. Or la phrase « pour tout nombre réel » exige une précision, car beaucoup d’expressions trigonométriques ne sont pas définies en tous les nombres.

Une identité trigonométrique est une égalité entre deux expressions construites avec des fonctions trigonométriques qui est vraie pour toutes les valeurs de la variable où les deux membres sont définis. L’ensemble de ces valeurs est l’ensemble de définition commun de l’identité. Une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs de l’ensemble de définition commun est une équation, et ces valeurs sont ses solutions.

L’ensemble de définition n’est pas un détail. La tangente est définie là où le cosinus ne s’annule pas, et la cotangente, là où le sinus ne s’annule pas ; par conséquent, le produit des deux est défini exactement lorsque xx n’est pas un multiple entier de π2\frac{\pi}{2}, et il y vaut 11 :

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

Aux multiples de π2\frac{\pi}{2}, l’identité n’affirme rien, car son premier membre ne désigne aucun nombre. De même, sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x est une identité sur son ensemble de définition commun, qui exclut les multiples de π2\frac{\pi}{2} ; pourtant, les fonctions f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} et g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x ne sont pas égales, car, d’après la leçon du cours I sur les opérations sur les fonctions, deux fonctions égales ont le même ensemble de définition, et la seconde est définie, par exemple, en x=0x = 0. Une identité ne compare donc deux expressions que là où toutes deux ont un sens.

Les identités fondamentales

Les identités ci-dessous s’obtiennent directement des définitions et des théorèmes de l’unité qui précède ; toutes les autres s’en déduisent.

ThéorèmeIdentités fondamentales

Sur l’ensemble de définition commun de chaque égalité sont vraies les identités des inverses, du quotient et pythagoriciennes ci-dessous. En outre, le sinus, la tangente, la cosécante et la cotangente sont des fonctions impaires, et le cosinus et la sécante sont des fonctions paires ; et chaque fonction de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta est sa cofonction de θ\theta, où le sinus et le cosinus, la tangente et la cotangente, la sécante et la cosécante sont cofonctions l’une de l’autre.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Tout se lit sur le point P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) de la leçon sur les rapports trigonométriques : les quatre fonctions restantes y ont été définies comme quotients de ses coordonnées, et le théorème des symétries du sinus et du cosinus, démontré dans cette leçon, donne les symétriques de P(θ)P(\theta) par rapport à l’axe des xx et à la droite y=xy = x. Les autres identités s’obtiennent en passant aux quotients et aux inverses. La figure utilise un angle aigu.

Démonstration

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Les identités des inverses et du quotient sont les définitions de la tangente, de la cotangente, de la sécante et de la cosécante : chacune est définie là où son dénominateur ne s’annule pas, et sur cet ensemble le produit d’une fonction par son inverse vaut 11. Sur la figure, le sinus et le cosinus sont les coordonnées de P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    Le point P(θ)P(\theta) est à distance 11 de l’origine : c’est la première identité pythagoricienne, démontrée dans la leçon sur les rapports trigonométriques. Là où cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, on divise ses deux membres par cos⁡2θ\cos^2 \theta, et là où sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, par sin⁡2θ\sin^2 \theta ; les identités de l’étape qui précède donnent alors les deux autres.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    Le symétrique de P(θ)P(\theta) par rapport à l’axe des xx est P(−θ)P(-\theta) : d’après le théorème des symétries, le cosinus est pair et le sinus est impair. En particulier, −θ-\theta est dans l’ensemble de définition de chaque fonction exactement lorsque θ\theta y est, car les zéros du sinus et du cosinus sont symétriques.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    En passant aux inverses et aux quotients, un signe moins apparaît dans les fonctions dont l’expression contient le sinus une seule fois : la sécante est paire, et la cosécante, la tangente et la cotangente sont impaires.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    Le symétrique de P(θ)P(\theta) par rapport à la droite y=xy = x est P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) : d’après le théorème des symétries, cette symétrie échange le sinus et le cosinus.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    En passant aux inverses et aux quotients, on échange aussi la sécante et la cosécante, et la tangente et la cotangente. Les ensembles de définition se correspondent : π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta est dans l’ensemble de définition de la sécante si et seulement si θ\theta est dans celui de la cosécante, car cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, et il en va de même pour les autres.

Les six fonctions comme segments

Les noms de la tangente et de la sécante viennent de la géométrie : pour un angle aigu, ce sont des longueurs de segments sur une droite tangente et sur une droite sécante au cercle trigonométrique. Cette figure classique réunit en un seul dessin les six fonctions et les trois identités pythagoriciennes.

ThéorèmeLes six rapports comme segments

Soient 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP le point P(θ)P(\theta) du cercle trigonométrique, QQ le pied de la perpendiculaire menée de ce point à l’axe des xx, A=(1,0)A = (1, 0) et B=(0,1)B = (0, 1). La droite qui contient le côté final coupe la tangente verticale en AA en un point TT, et la tangente horizontale en BB en un point SS. Alors le cosinus, le sinus, la tangente, la sécante, la cotangente et la cosécante de θ\theta sont, respectivement, les longueurs des segments qui vont de OO à QQ, de QQ à PP, de AA à TT, de OO à TT, de BB à SS et de OO à SS ; et le théorème de Pythagore dans le triangle de sommets OO, AA et TT, et dans celui de sommets OO, BB et SS, est, respectivement, la deuxième et la troisième identité pythagoricienne.

On parcourt la figure segment par segment. L’outil est celui qui, dans la leçon sur les rapports trigonométriques, a donné le sens de la tangente : la droite qui contient le côté final passe par l’origine et a pour pente tan⁡θ\tan \theta, de sorte que son équation est y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Démonstration

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Par définition, les coordonnées de PP sont le cosinus et le sinus ; le segment horizontal qui va de OO à QQ mesure l’abscisse, et le segment vertical qui va de QQ à PP, l’ordonnée, toutes deux strictement positives dans le premier quadrant.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    La tangente au cercle en AA est la droite x=1x = 1. En substituant x=1x = 1 dans l’équation du côté final, on obtient TT : le segment qui va de AA à TT, sur la droite tangente, mesure tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    Le point TT est le point P(θ)P(\theta) multiplié par sec⁡θ\sec \theta, car sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Comme P(θ)P(\theta) est à distance 11 de l’origine, TT est à distance sec⁡θ\sec \theta : le segment qui va de OO à TT, sur la droite sécante, mesure la sécante.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    Le triangle de sommets OO, AA et TT est rectangle en AA, de côtés de l’angle droit 11 et tan⁡θ\tan \theta et d’hypoténuse sec⁡θ\sec \theta. Le théorème de Pythagore dans ce triangle est la deuxième identité pythagoricienne.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    La tangente en BB est la droite y=1y = 1. En substituant y=1y = 1 dans y=xtan⁡θy = x \tan \theta, on obtient x=cot⁡θx = \cot \theta ; et comme csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, le point SS est P(θ)P(\theta) multiplié par csc⁡θ\csc \theta. Par conséquent, le segment qui va de BB à SS mesure la cotangente, et celui qui va de OO à SS, la cosécante.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    Le triangle de sommets OO, BB et SS est rectangle en BB, de côtés de l’angle droit 11 et cot⁡θ\cot \theta et d’hypoténuse csc⁡θ\csc \theta : on en déduit la troisième identité pythagoricienne. Son angle en OO mesure π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, et dans ce triangle la cotangente de θ\theta est le côté opposé : c’est la tangente de l’angle complémentaire.

On lit aussi sur la figure que la sécante et la cosécante d’un angle aigu sont strictement supérieures à 11, car ce sont des hypoténuses de triangles dont un côté de l’angle droit a pour longueur 11, et que la tangente est strictement inférieure à la sécante. La première identité pythagoricienne est, de même, le théorème de Pythagore dans le triangle de sommets OO, QQ et PP.