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Topos Uranos
Français

Trigonométrie analytique : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre l’unité de trigonométrie analytique, avec une évaluation d’entrée qui mesure le point de départ ; l’unité convertit les fonctions trigonométriques, étudiées dans l’unité qui précède comme fonctions d’un angle, en un calcul algébrique doté de règles propres : des identités qui valent pour tout angle, des formules qui expriment les rapports d’une somme au moyen de ceux de ses termes, des transformations de sommes en produits, des équations et des inéquations, et leur usage pour mesurer des angles entre droites et pour reconnaître les coniques dont les axes sont obliques. Elle présente les six leçons de l’unité dans leur ordre logique, parcourt l’histoire de ces idées depuis les tables de cordes de l’astronomie grecque jusqu’à la formulation analytique d’Euler, énonce le problème à leur origine, celui de calculer la corde d’un arc quelconque à partir de quelques cordes connues, et le résout dans un exemple avec les outils que l’unité démontrera. Elle se termine en signalant où ces idées reparaissent dans la suite du cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

  1. Décrire le contenu de chaque leçon de l’unité et expliquer comment chacune s’appuie sur celles qui la précèdent.
  2. Situer dans leur contexte historique les tables de cordes, le passage de la corde au sinus et la formulation analytique des fonctions trigonométriques.
  3. Formuler le problème du calcul d’une corde à partir d’autres cordes connues et reconnaître dans sa solution les formules de la différence et de l’angle moitié.
  4. Identifier des applications de la trigonométrie analytique en analyse, en mécanique, en programmation et en algèbre linéaire.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette autoévaluation ne note pas : elle sert à savoir où s’attarder. Les neuf premières questions touchent les six leçons de l’unité, deux pour chacune des leçons sur les identités, sur les formules d’addition et sur les équations, qui soutiennent les autres, et une pour chacune des trois autres ; la dixième est un problème de modélisation, qui demande de mettre en équation une situation concrète au moyen de la formule de l’angle double. Les mêmes compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse, avec d’autres données. Les trois dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis de l’unité qui précède et du cours I : les valeurs du cercle trigonométrique, les fonctions réciproques et le produit scalaire.

Évaluation d’entrée

Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.

  1. Question 1Laquelle des égalités ci-dessous est une identité sur son ensemble de définition commun ?

  2. Question 2Si tan⁡θ=−34\tan \theta = -\frac{3}{4} et si θ\theta est dans le deuxième quadrant, calculer cos⁡θ\cos \theta.

  3. Question 3Calculer tan⁡7π12\tan \frac{7\pi}{12}, en écrivant 7π12=π3+π4\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}.

  4. Question 4Si sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} et π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi, calculer sin⁡2θ\sin 2\theta.

  5. Question 5Calculer la valeur maximale de f(x)=3sin⁡x−4cos⁡x+1f(x) = 3 \sin x - 4 \cos x + 1.

  6. Question 6Combien de solutions l’équation 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 a-t-elle dans [0,2π)\ico{0}{2\pi} ?

  7. Question 7En résolvant cos⁡x−sin⁡x=1\cos x - \sin x = 1 par élévation au carré, on obtient les candidats x=kπ2x = \frac{k\pi}{2}. Quelles sont les solutions dans [0,2π)\ico{0}{2\pi} ?

  8. Question 8Quel angle forment les droites y=2x+1y = 2x + 1 et y=−3x+4y = -3x + 4 ?

  9. Question 9Que représente l’équation x2+4xy+y2−3=0x^2 + 4xy + y^2 - 3 = 0 ?

  10. Question 10D’un tronc de section transversale circulaire de 2020 centimètres de diamètre, on veut tirer une poutre de section transversale rectangulaire, dont les quatre sommets de la section transversale sont sur le cercle du tronc. Si θ\theta est l’angle que forme une diagonale du rectangle avec l’un de ses côtés, quelle est la plus grande aire possible de la section transversale, en centimètres carrés ?

  11. Question 11Des unités précédentesQuelles sont les coordonnées du point P(−7π6)P\left( -\frac{7\pi}{6} \right) du cercle trigonométrique ?

  12. Question 12Des unités précédentesCalculer arccos⁡(cos⁡4π3)\arccos\left( \cos \frac{4\pi}{3} \right).

  13. Question 13Des unités précédentesCalculer le cosinus de l’angle que forment les vecteurs (3,4)\left( 3, 4 \right) et (4,3)\left( 4, 3 \right).