Аналитическая тригонометрия: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1Какое из приведённых ниже равенств является тождеством на своей общей области определения?

   $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$

   $\sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin x$

   $\sin x + \cos x = 1$

   $\frac{\tan x}{\sin x} = \cos x$

2. Вопрос 2Пусть $\tan \theta = -\frac{3}{4}$ и угол $\theta$ лежит во второй четверти. Вычислите $\cos \theta$.

3. Вопрос 3Вычислите $\tan \frac{7\pi}{12}$, записав $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.

   $-2 - \sqrt{3}$

   $1 + \sqrt{3}$

   $2 + \sqrt{3}$

   $2 - \sqrt{3}$

4. Вопрос 4Пусть $\sin \theta = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$. Вычислите $\sin 2\theta$.

5. Вопрос 5Найдите наибольшее значение функции $f(x) = 3 \sin x - 4 \cos x + 1$.

6. Вопрос 6Сколько решений имеет уравнение $2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ на $\ico{0}{2\pi}$?

7. Вопрос 7При решении уравнения $\cos x - \sin x = 1$ возведением в квадрат получаются кандидаты $x = \frac{k\pi}{2}$. Какие из них являются решениями на $\ico{0}{2\pi}$?

   $0$ и $\frac{3\pi}{2}$

   $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$

   $0$ и $\frac{\pi}{2}$

   $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$

8. Вопрос 8Какой угол образуют прямые $y = 2x + 1$ и $y = -3x + 4$?

   $\frac{\pi}{4}$

   $\frac{3\pi}{4}$

   $\arctan 5$

   $\frac{\pi}{2}$

9. Вопрос 9Что задаёт уравнение $x^2 + 4xy + y^2 - 3 = 0$?

   Гиперболу.

   Эллипс.

   Окружность.

   Параболу.

10. Вопрос 10Из бревна круглого сечения диаметром $20$ сантиметров нужно вытесать брус прямоугольного сечения так, чтобы четыре вершины сечения лежали на окружности бревна. Пусть $\theta$ есть угол, который диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон. Какова наибольшая возможная площадь сечения в квадратных сантиметрах?

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовКаковы координаты точки $P\left( -\frac{7\pi}{6} \right)$ единичной окружности?

    $\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$

    $\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right)$

    $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$

    $\left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовВычислите $\arccos\left( \cos \frac{4\pi}{3} \right)$.

    $\frac{2\pi}{3}$

    $\frac{4\pi}{3}$

    $-\frac{2\pi}{3}$

    $\frac{\pi}{3}$

13. Вопрос 13Из предыдущих разделовВычислите косинус угла между векторами $\left( 3, 4 \right)$ и $\left( 4, 3 \right)$.