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Topos Uranos
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Identità trigonometriche fondamentali

Riepilogo

Questa lezione apre la trigonometria analitica, che studia le relazioni algebriche tra le funzioni trigonometriche. Definisce con precisione che cos’è un’identità, un’uguaglianza che vale in tutto il dominio comune dei suoi due membri, e raccoglie le identità fondamentali: le reciproche, quelle di quoziente, le pitagoriche, quelle di parità e quelle di cofunzione, che si leggono inoltre come lunghezze di segmenti sulla circonferenza goniometrica. Insegna il metodo per dimostrare un’identità, trasformando un membro nell’altro o entrambi in una stessa espressione, e mostra perché non è valido partire dall’identità ed elevarla al quadrato; una sola eccezione, un controesempio, basta a confutare un’identità falsa. Esprime ogni funzione in termini di un’altra, con il segno che fissa il quadrante, semplifica espressioni badando al dominio, converte radici algebriche in funzioni trigonometriche mediante sostituzioni e, eliminando il parametro, riconosce nel punto (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) un’ellisse e nel punto (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) un’iperbole.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire con precisione un’identità trigonometrica, determinarne il dominio comune e distinguerla da un’equazione, e raccogliere e dimostrare le identità fondamentali, anche nella loro lettura geometrica come segmenti.
  2. Dimostrare identità trasformando un membro nell’altro o entrambi in un’espressione comune, riconoscere ragionamenti non validi e confutare un’identità falsa con un controesempio.
  3. Esprimere ogni funzione trigonometrica in termini di un’altra, con il segno che corrisponde al quadrante, e semplificare espressioni conservandone il dominio.
  4. Impiegare sostituzioni trigonometriche per trasformare espressioni con radici, ed eliminare il parametro nelle parametrizzazioni trigonometriche dell’ellisse e dell’iperbole.

Che cos’è un’identità

Alcune uguaglianze tra funzioni trigonometriche valgono per ogni numero reale, come sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, dimostrata nella lezione sui rapporti trigonometrici e la circonferenza goniometrica; altre, come sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, solo per alcuni valori, che nella lezione sulle funzioni trigonometriche inverse si è imparato a trovare. La differenza è di natura: la prima afferma qualcosa di tutti i numeri, e la seconda pone una domanda. Ora, la frase «per ogni numero reale» esige una precisazione, perché molte espressioni trigonometriche non sono definite in tutti i numeri.

Un’identità trigonometrica è un’uguaglianza tra due espressioni costruite con funzioni trigonometriche che vale per tutti i valori della variabile nei quali entrambi i membri sono definiti. L’insieme di quei valori è il dominio comune dell’identità. Un’uguaglianza che vale solo per alcuni valori del dominio comune è un’equazione, e quei valori sono le sue soluzioni.

Il dominio non è un dettaglio. La tangente è definita dove il coseno non si annulla, e la cotangente dove non si annulla il seno; pertanto il prodotto delle due è definito esattamente quando xx non è multiplo intero di π2\frac{\pi}{2}, e lì vale 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

Nei multipli di π2\frac{\pi}{2} l’identità non afferma nulla, perché il suo primo membro non designa alcun numero. Allo stesso modo, sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x è un’identità nel suo dominio comune, che esclude i multipli di π2\frac{\pi}{2}; tuttavia le funzioni f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} e g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x non sono uguali, perché secondo la lezione del corso I sulle operazioni tra funzioni due funzioni uguali hanno lo stesso dominio, e la seconda è definita, per esempio, in x=0x = 0. Un’identità, pertanto, confronta due espressioni solo dove entrambe hanno senso.

Le identità fondamentali

Le identità seguenti si ottengono direttamente dalle definizioni e dai teoremi dell’unità che precede; tutte le altre si deducono da esse.

TeoremaIdentità fondamentali

Nel dominio comune di ciascuna uguaglianza valgono le identità reciproche, quelle di quoziente e quelle pitagoriche riportate qui sotto. Inoltre il seno, la tangente, la cosecante e la cotangente sono funzioni dispari, e il coseno e la secante sono funzioni pari; e ogni funzione di π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta è la sua cofunzione di θ\theta, dove il seno e il coseno, la tangente e la cotangente, la secante e la cosecante sono cofunzioni l’una dell’altra.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Tutto si legge nel punto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) della lezione sui rapporti trigonometrici: le quattro funzioni restanti vi sono state definite come quozienti delle sue coordinate, e il teorema delle simmetrie del seno e del coseno, dimostrato in quella lezione, dà i simmetrici di P(θ)P(\theta) rispetto all’asse xx e alla retta y=xy = x. Le altre identità si ottengono prendendo quozienti e reciproci. La figura usa un angolo acuto.

Dimostrazione

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Le identità reciproche e quelle di quoziente sono le definizioni della tangente, della cotangente, della secante e della cosecante: ciascuna è definita dove non si annulla il suo denominatore, e in quel dominio il prodotto di una funzione per la sua reciproca vale 11. Nella figura, il seno e il coseno sono le coordinate di P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    Il punto P(θ)P(\theta) è a distanza 11 dall’origine: è la prima identità pitagorica, dimostrata nella lezione sui rapporti trigonometrici. Dove cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, si dividono i suoi due membri per cos⁡2θ\cos^2 \theta, e dove sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, per sin⁡2θ\sin^2 \theta; per le identità del passo già visto si ottengono le altre due.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    Il simmetrico di P(θ)P(\theta) rispetto all’asse xx è P(−θ)P(-\theta): per il teorema delle simmetrie, il coseno è pari e il seno è dispari. In particolare, −θ-\theta sta nel dominio di ciascuna funzione esattamente quando vi sta θ\theta, perché gli zeri del seno e del coseno sono simmetrici.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    Prendendo reciproci e quozienti, un segno meno compare nelle funzioni la cui espressione contiene il seno una sola volta: la secante è pari, e la cosecante, la tangente e la cotangente sono dispari.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    Il simmetrico di P(θ)P(\theta) rispetto alla retta y=xy = x è P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): per il teorema delle simmetrie, questa simmetria scambia il seno e il coseno.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    Prendendo reciproci e quozienti si scambiano anche la secante e la cosecante, e la tangente e la cotangente. I domini si corrispondono: π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta sta nel dominio della secante se e solo se θ\theta sta in quello della cosecante, perché cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, e lo stesso accade con le altre.

Le sei funzioni come segmenti

I nomi della tangente e della secante provengono dalla geometria: per un angolo acuto sono lunghezze di segmenti su una retta tangente e su una retta secante alla circonferenza goniometrica. Questa figura classica riunisce in un solo disegno le sei funzioni e le tre identità pitagoriche.

TeoremaI sei rapporti come segmenti

Siano 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP il punto P(θ)P(\theta) della circonferenza goniometrica, QQ il piede della sua perpendicolare all’asse xx, A=(1,0)A = (1, 0) e B=(0,1)B = (0, 1). La retta che contiene il lato terminale taglia la tangente verticale in AA in un punto TT, e la tangente orizzontale in BB in un punto SS. Allora il coseno, il seno, la tangente, la secante, la cotangente e la cosecante di θ\theta sono, rispettivamente, le lunghezze dei segmenti che vanno da OO a QQ, da QQ a PP, da AA a TT, da OO a TT, da BB a SS e da OO a SS; e il teorema di Pitagora nel triangolo di vertici OO, AA e TT, e in quello di vertici OO, BB e SS, è, rispettivamente, la seconda e la terza identità pitagorica.

Si percorre la figura segmento per segmento. Lo strumento è quello che, nella lezione sui rapporti trigonometrici, ha dato il significato della tangente: la retta che contiene il lato terminale passa per l’origine e ha coefficiente angolare tan⁡θ\tan \theta, sicché la sua equazione è y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Dimostrazione

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Per definizione, le coordinate di PP sono il coseno e il seno; il segmento orizzontale che va da OO a QQ misura l’ascissa, e quello verticale che va da QQ a PP l’ordinata, entrambe positive nel primo quadrante.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    La tangente alla circonferenza in AA è la retta x=1x = 1. Sostituendo x=1x = 1 nell’equazione del lato terminale si ottiene TT: il segmento che va da AA a TT, sulla retta tangente, misura tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    Il punto TT è il punto P(θ)P(\theta) moltiplicato per sec⁡θ\sec \theta, perché sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Poiché P(θ)P(\theta) è a distanza 11 dall’origine, TT è a distanza sec⁡θ\sec \theta: il segmento che va da OO a TT, sulla retta secante, misura la secante.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    Il triangolo di vertici OO, AA e TT è rettangolo in AA, con cateti 11 e tan⁡θ\tan \theta e ipotenusa sec⁡θ\sec \theta. Il teorema di Pitagora in esso è la seconda identità pitagorica.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    La tangente in BB è la retta y=1y = 1. Sostituendo y=1y = 1 in y=xtan⁡θy = x \tan \theta risulta x=cot⁡θx = \cot \theta; e poiché csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, il punto SS è P(θ)P(\theta) moltiplicato per csc⁡θ\csc \theta. Pertanto il segmento che va da BB a SS misura la cotangente, e quello che va da OO a SS la cosecante.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    Il triangolo di vertici OO, BB e SS è rettangolo in BB, con cateti 11 e cot⁡θ\cot \theta e ipotenusa csc⁡θ\csc \theta: da esso segue la terza identità pitagorica. Il suo angolo in OO misura π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, e in esso la cotangente di θ\theta è il cateto opposto: è la tangente del complementare.

Nella figura si legge anche che la secante e la cosecante di un angolo acuto sono maggiori di 11, perché sono ipotenuse di triangoli con un cateto di lunghezza 11, e che la tangente è minore della secante. La prima identità pitagorica è, allo stesso modo, il teorema di Pitagora nel triangolo di vertici OO, QQ e PP.