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Trigonometria analitica: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre l’unità di trigonometria analitica, con una valutazione d’ingresso che misura il punto di partenza; l’unità converte le funzioni trigonometriche, studiate nell’unità che precede come funzioni di un angolo, in un calcolo algebrico con regole proprie: identità che valgono per ogni angolo, formule che esprimono i rapporti di una somma mediante quelli dei suoi addendi, trasformazioni di somme in prodotti, equazioni e disequazioni, e il loro uso per misurare angoli tra rette e per riconoscere le coniche i cui assi sono obliqui. Presenta le sei lezioni dell’unità nel loro ordine logico, ripercorre la storia di queste idee dalle tavole delle corde dell’astronomia greca fino alla formulazione analitica di Eulero, enuncia il problema che diede loro origine, quello di calcolare la corda di un arco qualsiasi a partire da poche corde note, e lo risolve in un esempio con gli strumenti che l’unità dimostrerà. Termina indicando dove queste idee ricompaiono nel resto del corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Descrivere il contenuto di ciascuna lezione dell’unità e spiegare come ciascuna poggi su quelle che la precedono.
  2. Collocare nel loro contesto storico le tavole delle corde, il passaggio dalla corda al seno e la formulazione analitica delle funzioni trigonometriche.
  3. Formulare il problema di calcolare una corda a partire da altre corde note e riconoscere nella sua soluzione le formule della differenza e di bisezione.
  4. Identificare applicazioni della trigonometria analitica nell’analisi, nella meccanica, nella programmazione e nell’algebra lineare.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Questa autovalutazione non dà voti: serve a sapere dove soffermarsi. Le prime nove domande toccano le sei lezioni dell’unità, due per ciascuna delle lezioni sulle identità, sulle formule di addizione e sottrazione e sulle equazioni, che sorreggono le altre, e una per ciascuna delle altre tre; la decima è un problema di modellizzazione, che chiede di impostare con la formula di duplicazione una situazione concreta. Le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi, con altri dati. Le ultime tre verificano ciò che l’unità dà per noto dell’unità che precede e del corso I: i valori della circonferenza goniometrica, le funzioni inverse e il prodotto scalare.

Valutazione d’ingresso

Prima di iniziare l’unità, misura il tuo punto di partenza. È un’autovalutazione breve: non riceve voto e il risultato resta solo nel tuo browser.

  1. Domanda 1Quale delle uguaglianze seguenti è un’identità nel suo dominio comune?

  2. Domanda 2Se tan⁡θ=−34\tan \theta = -\frac{3}{4} e θ\theta è nel secondo quadrante, calcolare cos⁡θ\cos \theta.

  3. Domanda 3Calcolare tan⁡7π12\tan \frac{7\pi}{12}, scrivendo 7π12=π3+π4\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}.

  4. Domanda 4Se sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} e π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi, calcolare sin⁡2θ\sin 2\theta.

  5. Domanda 5Calcolare il valore massimo di f(x)=3sin⁡x−4cos⁡x+1f(x) = 3 \sin x - 4 \cos x + 1.

  6. Domanda 6Quante soluzioni ha l’equazione 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 in [0,2π)\ico{0}{2\pi}?

  7. Domanda 7Risolvendo cos⁡x−sin⁡x=1\cos x - \sin x = 1 con l’elevamento al quadrato si ottengono i candidati x=kπ2x = \frac{k\pi}{2}. Quali sono le soluzioni in [0,2π)\ico{0}{2\pi}?

  8. Domanda 8Che angolo formano le rette y=2x+1y = 2x + 1 e y=−3x+4y = -3x + 4?

  9. Domanda 9Che cosa rappresenta l’equazione x2+4xy+y2−3=0x^2 + 4xy + y^2 - 3 = 0?

  10. Domanda 10Da un tronco a sezione trasversale circolare di 2020 centimetri di diametro si vuole ricavare una trave a sezione trasversale rettangolare, con i quattro vertici della sezione trasversale sulla circonferenza del tronco. Se θ\theta è l’angolo che una diagonale del rettangolo forma con uno dei suoi lati, qual è la massima area possibile della sezione trasversale, in centimetri quadrati?

  11. Domanda 11Dalle unità precedentiQuali sono le coordinate del punto P(−7π6)P\left( -\frac{7\pi}{6} \right) della circonferenza goniometrica?

  12. Domanda 12Dalle unità precedentiCalcolare arccos⁡(cos⁡4π3)\arccos\left( \cos \frac{4\pi}{3} \right).

  13. Domanda 13Dalle unità precedentiCalcolare il coseno dell’angolo che formano i vettori (3,4)\left( 3, 4 \right) e (4,3)\left( 4, 3 \right).