Funzioni trigonometriche e coordinate polari: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle funzioni trigonometriche e sulle coordinate polari. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che è stato dimostrato nelle sue sei lezioni: la misura degli angoli mediante la lunghezza dell’arco, la definizione del seno e del coseno sulla circonferenza goniometrica e le sue conseguenze, lo studio di queste funzioni e delle loro inverse, la risoluzione di tutti i triangoli e le coordinate polari con le loro curve. Spiega come quella catena poggi sul corso Algebra e Geometria I, dalla divisione con resto alle coniche e ai vettori, e come prepari la trigonometria analitica dell’unità che segue. Ripete in una valutazione d’uscita le abilità della valutazione d’ingresso dell’introduzione, aggiunge due domande sulle ragioni dei risultati e termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi delle lezioni, che ne combinano diverse ed esigono in ogni caso un’idea propria.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena di definizioni e teoremi dell’unità, dal radiante all’equazione polare delle coniche, individuando da quale risultato dipende ciascuno.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con quelli del corso I e con i problemi che la trigonometria analitica lascia aperti.
Risolvere problemi che combinano la misura degli archi, le simmetrie e i grafici delle funzioni trigonometriche, le loro inverse, la risoluzione dei triangoli e le coordinate polari.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Dagli angoli alle funzioni

L’unità prende le mosse da pochi fatti ammessi, che conviene elencare con esattezza. I primi due richiedono il calcolo infinitesimale: i fatti sulle lunghezze e sulle aree (ogni arco ha una lunghezza e ogni regione delimitata da segmenti e archi ha un’area; entrambe sono additive, non cambiano quando si spostano le figure e crescono con esse; gli archi su cui insiste uno stesso angolo al centro sono proporzionali ai raggi, e il cerchio di raggio $r$ ha area $\pi r^2$ ), e l’assioma del percorso per lunghezza d’arco: per ogni numero reale $s$ esiste un unico punto $P(s)$ della circonferenza goniometrica a cui si giunge percorrendola a partire da $(1, 0)$ per una lunghezza $\abs{s}$ , nel verso indicato dal segno di $s$ ; quel percorso ammette la giustapposizione (avanzare di $t$ a partire da $P(s)$ porta a $P(s + t)$ ), ha periodo $2\pi$ , raggiunge tutti i punti e, nel primo mezzo giro, che termina in $P(\pi) = (-1, 0)$ , percorre la semicirconferenza superiore con ascissa strettamente decrescente. Gli altri provengono dalla geometria elementare, che il corso non sviluppa: la somma $\pi$ degli angoli di un triangolo, l’uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele, la somma di angoli adiacenti e la posizione del centro di una circonferenza rispetto a un angolo alla circonferenza, i criteri di similitudine, il teorema di Pitagora, la conservazione delle lunghezze nelle simmetrie assiali, che invertono il verso di rotazione, e nella rotazione di mezzo giro, che lo conserva, e il confronto degli angoli sotto i quali si vede una corda da punti interni ed esterni al cerchio. Con essi si ammette anche il valore di $\pi$ , la cui rappresentazione decimale comincia con 3,14159, cosicché $3 < \pi < 4$ , e la sua irrazionalità. Altri due fatti, che richiedono anch’essi il calcolo infinitesimale, si ammettono nella lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici, e li usano solo alcuni problemi, mai i teoremi della catena: la continuità delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse, grazie alla quale si applica loro il teorema dei valori intermedi, che non si ammette di nuovo ma si cita dal corso I, e la concavità stretta del seno in ogni intervallo $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; e l’ultimo problema risolto della lezione sui rapporti trigonometrici ammette, per la stessa ragione, che le aree dei poligoni regolari inscritti si avvicinano a quella del cerchio quanto si vuole. Su questa base, la lezione sugli angoli e la loro misura ha definito il numero $\pi$ come la metà della lunghezza della circonferenza goniometrica e la misura in radianti come la lunghezza, con segno, dell’arco percorso; prendendo il simmetrico del primo mezzo giro rispetto all’asse $x$ , ha dimostrato che nel secondo il percorso passa per la semicirconferenza inferiore con ascissa strettamente crescente; dalla stessa base sono derivati la conversione tra gradi e radianti, le formule $s = r\theta$ e $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , il teorema dell’angolo alla circonferenza, che misura la metà dell’arco su cui insiste, e il teorema di riduzione al primo giro, secondo il quale ogni numero reale si scrive in un unico modo come $\theta_0 + 2k\pi$ con $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ . Poiché l’assioma implica che un giro non passa due volte per lo stesso punto, due numeri determinano lo stesso punto $P(\theta)$ esattamente quando differiscono per un multiplo intero di $2\pi$ .

La lezione sui rapporti trigonometrici e la circonferenza goniometrica ha dato due definizioni del seno, del coseno e della tangente: come quozienti tra i lati di un triangolo rettangolo, che la similitudine rende indipendenti dal triangolo, e come coordinate di $P(\theta)$ , valide per ogni numero reale; ha dimostrato che coincidono negli angoli acuti. Dalla seconda definizione si sono dedotti l’identità pitagorica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , i valori notevoli di $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{3}$ , e le simmetrie della circonferenza, che danno la parità, la periodicità e le relazioni con gli angoli supplementari e complementari. Ne segue il metodo dell’angolo di riferimento, che riduce il calcolo dei rapporti di un angolo qualsiasi a quello di un angolo acuto.

Nella lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici, quei rapporti sono diventati funzioni di una variabile reale. Il lemma dei periodi, dimostrato con la proprietà archimedea, e la localizzazione dei massimi hanno provato che $2\pi$ è il periodo minimo del seno e del coseno, e quella degli zeri, che $\pi$ è quello della tangente; i grafici sono stati costruiti srotolando la circonferenza, e il confronto delle aree di due triangoli e di un settore ha dato la disuguaglianza $\sin x < x < \tan x$ per $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , da cui seguono la limitazione $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ e gli asintoti verticali della tangente. Le sinusoidi $a \sin(b(x - c)) + d$ , ottenute dal seno con le trasformazioni dell’unità del corso I sulle funzioni algebriche, modellano ogni fenomeno periodico di forma semplice.

L’inversione e la misura dei triangoli

Ora, una funzione periodica non è iniettiva. La lezione sulle funzioni trigonometriche inverse ha letto nell’assioma del percorso che il coseno è strettamente decrescente in $\icc{0}{\pi}$ , perché quella è la clausola del mezzo giro scritta in coordinate; da ciò e dalla simmetria degli angoli complementari ha dimostrato che il seno è strettamente crescente in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , e da entrambe, che la tangente è crescente in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; ha definito in quegli intervalli l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente, e ha distinto l’uguaglianza $\sin(\arcsin x) = x$ , sempre vera, da $\arcsin(\sin x) = x$ , vera solo nell’intervallo principale. Con le simmetrie, le inverse hanno risolto le equazioni elementari in un giro completo.

Con ciò tutto era pronto per la lezione sulla risoluzione dei triangoli. Collocando un vertice nell’origine, il vertice opposto a un lato ha coordinate $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ; di qui seguono, in quest’ordine, l’area $\frac{1}{2} bc \sin A$ , il teorema dei seni e, con il teorema dell’angolo alla circonferenza, la sua relazione con il raggio della circonferenza circoscritta, il teorema del coseno, che estende quello di Pitagora, e la formula di Erone. Poiché il coseno determina un angolo di un triangolo e il seno no, il caso di due lati e dell’angolo opposto a uno di essi ammette nessuna, una o due soluzioni, e il teorema del caso ambiguo le conta mediante le radici di un’equazione di secondo grado. Infine, il teorema del coseno e lo sviluppo del quadrato della norma di una differenza hanno dato la misura dell’angolo tra due vettori mediante il prodotto scalare.

Un secondo sistema di coordinate

La lezione sulle coordinate polari ha rovesciato il punto di vista: invece di calcolare le coordinate cartesiane di un punto a partire dalla sua distanza dall’origine e dal suo angolo, ha designato il punto mediante quei due numeri. Ammettendo raggi negativi, ha descritto tutte le rappresentazioni di un punto, ha dimostrato le formule di passaggio, con l’arcotangente corretto secondo il quadrante, e ha ottenuto dal teorema del coseno la distanza tra due punti in coordinate polari. I criteri di simmetria e le tabelle di valori hanno permesso di tracciare cardioidi, rose, spirali e lumache, e il teorema del fuoco e della direttrice si è trasformato nell’equazione $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , in cui si leggono il tipo, i vertici e il lato retto di ogni conica.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una linea punteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che provengono dal corso I o si ammettono senza dimostrazione, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

APercorso per lunghezza d’arco. Per ogni numero reale $s$ esiste un unico punto $P(s)$ della circonferenza goniometrica a cui si giunge percorrendola a partire da $(1, 0)$ per una lunghezza $\abs{s}$ , in senso antiorario se $s > 0$ e in senso orario se $s < 0$ . Avanzare a partire da $P(s)$ di una lunghezza $t$ in senso antiorario porta a $P(s + t)$ , e in senso orario, a $P(s - t)$ ; vale $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; ogni punto della circonferenza è $P(s)$ per qualche $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , e l’ascissa di $P(s)$ decresce strettamente, con ordinata non negativa, quando $s$ cresce da $0$ a $\pi$ . Si ammette senza dimostrazione, perché si fonda sulla lunghezza d’arco e sulla proprietà dei valori intermedi; il secondo mezzo giro si deduce dal primo con le simmetrie assiali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BLunghezze e aree. Ogni arco ha una lunghezza e ogni regione delimitata da segmenti e archi ha un’area; le figure congruenti hanno la stessa misura, le misure sono additive, l’area di una regione che ne contiene un’altra non è minore, ed è maggiore se la differenza contiene un cerchio; gli archi su cui insiste uno stesso angolo al centro sono proporzionali ai raggi, e il cerchio di raggio $r$ ha area $\pi r^2$ . Si ammette senza dimostrazione, perché le lunghezze e le aree curve si definiscono mediante limiti. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CSimmetrie assiali e rotazioni. Una simmetria rispetto a una retta conserva le distanze e le lunghezze degli archi, e inverte il verso di rotazione; la rotazione di mezzo giro attorno all’origine le conserva e conserva il verso. Si ammette dalla geometria elementare. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DGeometria elementare. I tre angoli di un triangolo hanno somma $\pi$ ; gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali; una semiretta che passa per l’interno di un angolo lo divide in due angoli la cui somma è l’angolo dato; se il centro sta dentro un angolo alla circonferenza, il diametro uscente dal vertice lo divide in due e taglia l’arco su cui l’angolo insiste, e se sta fuori, uno dei lati si trova tra quel diametro e l’altro lato; i criteri di similitudine dei triangoli e il teorema di Pitagora; e un punto esterno al cerchio vede una corda sotto un angolo minore dell’angolo alla circonferenza dalla stessa banda, e uno interno, sotto un angolo maggiore. Si ammettono dalla geometria elementare. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EProprietà archimedea. Dati due reali positivi $p$ e $q$ , qualche multiplo naturale di $q$ supera $p$ ; da essa seguono la densità dei razionali e l’esistenza del minimo intero maggiore di un reale dato. Dimostrata nel corso I, nell’unità sugli insiemi numerici. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FFunzioni e polinomi. Una funzione strettamente monotona è iniettiva, il grafico della sua inversa è il simmetrico del suo rispetto alla retta $y = x$ , le trasformazioni traslano e dilatano i grafici, e le tabelle dei segni e le formule di Viète governano i segni dei quozienti e le radici dei polinomi. Dimostrato nel corso I, nell’unità sulle funzioni algebriche e sui polinomi. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GGeometria analitica. La formula della distanza, l’equazione della circonferenza, la pendenza di una retta, i vettori con il prodotto scalare e la caratterizzazione delle coniche mediante il fuoco e la direttrice. Dimostrato nel corso I, nell’unità sulla geometria analitica del piano. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
HSimmetrie. Il seno è dispari e il coseno pari; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ e $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , ed entrambi sono periodici di periodo $2\pi$ . Stabilito in: 10. Simmetrie e periodicità.

Tratto 1 Dagli angoli alle funzioni
- Misurare gli angoli mediante la lunghezza dell’arco che percorrono, mettere in relazione l’angolo alla circonferenza con l’arco su cui insiste e ridurre ogni numero reale al primo giro.
- Definire il seno e il coseno sulla circonferenza goniometrica e dimostrare che concordano con i rapporti del triangolo rettangolo.
- Dedurre l’identità pitagorica, i valori notevoli e le simmetrie, e con esse il metodo dell’angolo di riferimento.
- Studiare il seno, il coseno e la tangente come funzioni: i loro periodi minimi, i loro grafici, la disuguaglianza $\sin x < x < \tan x$ e le sinusoidi.
1. Misura in radianti. Con $\pi$ uguale alla metà della lunghezza della circonferenza goniometrica, la misura in radianti di un angolo orientato è la lunghezza, con segno, dell’arco che percorre; ogni numero reale è la misura di un angolo, e un angolo di $g$ gradi misura $\frac{\pi g}{180}$ radianti.
  Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), B (Lunghezze e aree). Dimostrato in: Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti.
2. Arco e settore. In una circonferenza di raggio $r$ , un angolo al centro di $\theta$ radianti, con $0 < \theta \leq 2\pi$ , insiste su un arco di lunghezza $s = r\theta$ e individua un settore di area $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  Usa: 1. Misura in radianti. Si appoggia su: B (Lunghezze e aree), E (Proprietà archimedea). Dimostrato in: Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti.
3. Angolo alla circonferenza. Un angolo alla circonferenza in una circonferenza di raggio $r$ che insiste su un arco di lunghezza $s$ misura $\frac{s}{2r}$ ; pertanto, gli angoli alla circonferenza che insistono su una stessa corda sono uguali o supplementari a seconda che i loro vertici stiano sullo stesso arco o su archi distinti, e quello inscritto in una semicirconferenza è retto.
  Usa: 2. Arco e settore. Si appoggia su: B (Lunghezze e aree), D (Geometria elementare). Dimostrato in: Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti.
4. Riduzione al primo giro. Ogni numero reale $\theta$ si scrive in un unico modo come $\theta_0 + 2k\pi$ , con $k$ intero e $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ ; poiché un giro non ripete punti, due angoli sono coterminali se e solo se la loro differenza è un multiplo intero di $2\pi$ .
  Usa: 1. Misura in radianti. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), E (Proprietà archimedea), C (Simmetrie assiali e rotazioni). Dimostrato in: Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti.
5. Rapporti di un angolo acuto. Nei triangoli rettangoli con un angolo acuto $\alpha$ , i quozienti tra i lati dipendono solo da $\alpha$ , e il seno e il coseno di $\alpha$ sono strettamente compresi tra $0$ e $1$ .
  Si appoggia su: D (Geometria elementare). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
6. Seno e coseno di un numero reale. Per ogni numero reale $\theta$ , il coseno e il seno di $\theta$ sono l’ascissa e l’ordinata del punto $P(\theta)$ della circonferenza goniometrica, e la tangente è il loro quoziente $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ quando il coseno non si annulla; i loro segni in ciascun quadrante si deducono dalla proprietà del mezzo giro e dal suo simmetrico, il secondo mezzo giro, e quelli di un angolo qualsiasi sono quelli della sua riduzione al primo giro.
  Usa: 1. Misura in radianti, 4. Riduzione al primo giro. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), C (Simmetrie assiali e rotazioni). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
7. Concordanza delle definizioni. Se $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , il seno, il coseno e la tangente definiti sulla circonferenza goniometrica coincidono con quelli definiti in un triangolo rettangolo con un angolo acuto di misura $\theta$ .
  Usa: 5. Rapporti di un angolo acuto, 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), C (Simmetrie assiali e rotazioni), G (Geometria analitica). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
8. Identità pitagorica. Per ogni numero reale $\theta$ vale $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , e da essa $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ quando $\cos \theta \neq 0$ .
  Usa: 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: G (Geometria analitica). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
9. Valori notevoli. Il seno e il coseno di $\frac{\pi}{4}$ valgono $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; il seno di $\frac{\pi}{6}$ e il coseno di $\frac{\pi}{3}$ valgono $\frac{1}{2}$ , e il coseno di $\frac{\pi}{6}$ e il seno di $\frac{\pi}{3}$ valgono $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Usa: 1. Misura in radianti, 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: G (Geometria analitica), D (Geometria elementare), C (Simmetrie assiali e rotazioni). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
10. Simmetrie e periodicità. Il seno è dispari e il coseno pari; un angolo e il suo supplementare hanno lo stesso seno e coseni opposti, $\theta$ e $\pi + \theta$ hanno seni e coseni opposti, il seno di un angolo è il coseno del suo complementare, ed entrambi sono periodici di periodo $2\pi$ ; pertanto, il seno e il coseno di un angolo sono, a meno del segno del suo quadrante, quelli del suo angolo di riferimento.
  Usa: 4. Riduzione al primo giro, 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), C (Simmetrie assiali e rotazioni), F (Funzioni e polinomi). Dimostrato in: Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
11. Proprietà del seno e del coseno. Il seno e il coseno hanno per insieme immagine $\icc{-1}{1}$ ; il seno si annulla esattamente nei numeri $k\pi$ e vale $1$ esattamente nei numeri $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , e il coseno vale $1$ esattamente nei numeri $2k\pi$ , con $k$ intero.
  Usa: 4. Riduzione al primo giro, 6. Seno e coseno di un numero reale, 8. Identità pitagorica. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
12. Periodo minimo. Se $q$ è il periodo minimo di una funzione, i suoi periodi sono esattamente i numeri $kq$ , con $k$ naturale; e $2\pi$ è il periodo minimo del seno e del coseno.
  Usa: 11. Proprietà del seno e del coseno. Si appoggia su: E (Proprietà archimedea). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
13. Seno, arco e tangente. Se $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , vale $\sin x < x < \tan x$ ; ne segue che $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ per ogni numero reale $x$ , con l’uguaglianza solo in $x = 0$ .
  Usa: 2. Arco e settore, 6. Seno e coseno di un numero reale, 11. Proprietà del seno e del coseno. Si appoggia su: B (Lunghezze e aree), G (Geometria analitica), H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
14. Proprietà della tangente. La tangente è dispari, ha periodo minimo $\pi$ , si annulla esattamente nei numeri $k\pi$ , il suo insieme immagine è $\mathbb{R}$ , e le rette $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono asintoti verticali del suo grafico.
  Usa: 8. Identità pitagorica, 11. Proprietà del seno e del coseno, 13. Seno, arco e tangente. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), F (Funzioni e polinomi), H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
15. Sinusoidi. La sinusoide $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , con $a > 0$ e $b > 0$ , si ottiene dal seno mediante trasformazioni; il suo insieme immagine è $\icc{d - a}{d + a}$ e il suo periodo minimo è $\frac{2\pi}{b}$ .
  Usa: 11. Proprietà del seno e del coseno, 12. Periodo minimo. Si appoggia su: F (Funzioni e polinomi). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
Tratto 2 L’inversione e la misura dei triangoli
- Dedurre dall’assioma del percorso la monotonia stretta del coseno e del seno, e da essa quella della tangente, nei loro intervalli principali, e definire le loro funzioni inverse.
- Distinguere l’uguaglianza $\sin(\arcsin x) = x$ , sempre vera, da $\arcsin(\sin x) = x$ , e risolvere le equazioni elementari in un giro completo.
- Dedurre dalle coordinate di un vertice l’area del triangolo, il teorema dei seni, il teorema del coseno e la formula di Erone.
- Contare le soluzioni del caso ambiguo e misurare l’angolo tra due vettori con il prodotto scalare.
1. Monotonia e restrizioni biiettive. Per la proprietà del mezzo giro dell’assioma del percorso, il coseno è strettamente decrescente in $\icc{0}{\pi}$ ; da ciò e dalle simmetrie, il seno è strettamente crescente in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e la tangente in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; ristretti a quegli intervalli, sono biiezioni su $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ e $\mathbb{R}$ .
  Usa: 4. Riduzione al primo giro, 6. Seno e coseno di un numero reale, 14. Proprietà della tangente. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), F (Funzioni e polinomi), H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche inverse.
2. Funzioni inverse. L’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente, inverse di quelle restrizioni, soddisfano $\sin(\arcsin x) = x$ in $\icc{-1}{1}$ , mentre $\arcsin(\sin x) = x$ solo in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; inoltre, $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ e $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Usa: 8. Identità pitagorica, 16. Monotonia e restrizioni biiettive. Si appoggia su: F (Funzioni e polinomi), H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche inverse.
3. Equazioni elementari. Se $-1 < c < 1$ e $\alpha = \arcsin c$ , l’equazione $\sin x = c$ ha in $\ico{0}{2\pi}$ esattamente due soluzioni, $\pi - \alpha$ e, secondo il segno di $\alpha$ , lo stesso $\alpha$ oppure $2\pi + \alpha$ ; l’equazione $\cos x = c$ ha lì le soluzioni $\arccos c$ e $2\pi - \arccos c$ .
  Usa: 16. Monotonia e restrizioni biiettive, 17. Funzioni inverse. Si appoggia su: H (Simmetrie). Dimostrato in: Le funzioni trigonometriche inverse.
4. Area del triangolo. Con il vertice $A$ nell’origine e il vertice $B$ sul semiasse positivo delle ascisse, il vertice $C$ ha coordinate $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ , e l’area del triangolo è $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Usa: 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: G (Geometria analitica), H (Simmetrie). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
5. Teorema dei seni. I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti, e il quoziente comune $\frac{a}{\sin A}$ è il diametro $2R$ della circonferenza circoscritta.
  Usa: 7. Concordanza delle definizioni, 3. Angolo alla circonferenza, 19. Area del triangolo. Si appoggia su: D (Geometria elementare), H (Simmetrie). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
6. Teorema del coseno. In ogni triangolo vale $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , che si riduce al teorema di Pitagora quando l’angolo $A$ è retto.
  Usa: 8. Identità pitagorica, 19. Area del triangolo. Si appoggia su: G (Geometria analitica). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
7. Formula di Erone. L’area di un triangolo di lati $a$ , $b$ e $c$ e semiperimetro $s$ è $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Usa: 8. Identità pitagorica, 19. Area del triangolo, 21. Teorema del coseno. Si appoggia su: F (Funzioni e polinomi). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
8. Caso ambiguo. Dati un angolo $A$ , il lato adiacente $c$ e il lato opposto $a$ , i triangoli possibili corrispondono alle radici positive di $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ , e sono nessuno, uno o due a seconda di come $a$ si confronta con $c \sin A$ e con $c$ .
  Usa: 6. Seno e coseno di un numero reale, 8. Identità pitagorica, 21. Teorema del coseno. Si appoggia su: F (Funzioni e polinomi). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
9. Angolo tra vettori. Se $\theta$ è l’angolo tra i vettori non nulli $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , vale $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Usa: 21. Teorema del coseno. Si appoggia su: G (Geometria analitica). Dimostrato in: Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
Tratto 3 Un secondo sistema di coordinate
- Descrivere tutte le rappresentazioni polari di un punto, ammettendo raggi negativi.
- Passare dalle coordinate cartesiane alle polari con l’arcotangente corretto secondo il quadrante.
- Calcolare distanze in coordinate polari e tracciare curve polari con i criteri di simmetria.
- Scrivere le coniche con un fuoco nel polo e leggere nella loro equazione il tipo, i vertici e il lato retto.
1. Rappresentazioni di un punto. Le coppie $(r_1, \theta_1)$ e $(r_2, \theta_2)$ rappresentano lo stesso punto distinto dal polo se e solo se $r_2 = r_1$ e $\theta_2 - \theta_1$ è un multiplo pari di $\pi$ , oppure $r_2 = -r_1$ e $\theta_2 - \theta_1$ è un multiplo dispari di $\pi$ .
  Usa: 4. Riduzione al primo giro, 6. Seno e coseno di un numero reale, 8. Identità pitagorica. Si appoggia su: H (Simmetrie). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.
2. Dalle cartesiane alle polari. Ogni punto $(x, y)$ distinto dal polo ha un’unica rappresentazione con $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta$ in $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; se $x \neq 0$ , il suo angolo è $\arctan \frac{y}{x}$ , a cui si somma o da cui si sottrae $\pi$ quando $x < 0$ .
  Usa: 25. Rappresentazioni di un punto, 17. Funzioni inverse. Si appoggia su: A (Percorso per lunghezza d’arco), G (Geometria analitica), H (Simmetrie). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.
3. Distanza in coordinate polari. La distanza $d$ tra i punti $(r_1, \theta_1)$ e $(r_2, \theta_2)$ soddisfa $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ , qualunque siano i segni dei raggi.
  Usa: 4. Riduzione al primo giro, 21. Teorema del coseno, 25. Rappresentazioni di un punto. Si appoggia su: H (Simmetrie). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.
4. Criteri di simmetria. Se l’equazione di una curva polare si trasforma in una equivalente sostituendo $\theta$ con $-\theta$ , $\theta$ con $\pi - \theta$ o $r$ con $-r$ , la curva è simmetrica, rispettivamente, rispetto all’asse polare, alla retta $\theta = \frac{\pi}{2}$ o al polo.
  Usa: 6. Seno e coseno di un numero reale. Si appoggia su: H (Simmetrie). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.
5. Equazione polare delle coniche. Se $e > 0$ e $d > 0$ , i punti la cui distanza dal polo è $e$ volte la loro distanza dalla retta $x = d$ formano il grafico di $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  Usa: 25. Rappresentazioni di un punto. Si appoggia su: G (Geometria analitica), H (Simmetrie). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.
6. Elementi della conica polare. Nella conica $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , l’asse polare è l’asse focale, un vertice sta a distanza $\frac{ed}{1 + e}$ dal polo e il lato retto misura $2ed$ ; se $e < 1$ , il semiasse maggiore è $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Usa: 28. Criteri di simmetria, 29. Equazione polare delle coniche. Si appoggia su: G (Geometria analitica). Dimostrato in: Coordinate polari e curve polari.

Verso la trigonometria analitica. La catena si arresta davanti al seno e al coseno di una somma di angoli: le simmetrie li danno solo quando uno degli addendi è un multiplo di $\frac{\pi}{2}$ . L’unità che segue deduce le formule di addizione e sottrazione, e con esse dimostra identità, risolve in generale le equazioni goniometriche e classifica le equazioni di secondo grado mediante la rotazione degli assi.

L’unità nel corso

L’unità, la prima del corso II, poggia sul corso I in punti precisi. La riduzione al primo giro è la divisione con resto della lezione del corso I sulla divisibilità, trasportata ai numeri reali con la proprietà archimedea della lezione del corso I sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali, e l’area del settore è stata estesa a tutti gli angoli con la densità dei razionali della lezione del corso I sulla retta reale. Le inverse hanno applicato i teoremi della funzione inversa e delle trasformazioni della lezione del corso I sulle operazioni tra funzioni, e gli asintoti sono stati studiati con le tabelle dei segni. La circonferenza goniometrica, le pendenze, i vettori, il prodotto scalare e le coniche provengono dall’unità del corso I sulla geometria analitica del piano, la cui lezione sulle sezioni coniche ha dato il teorema del fuoco e della direttrice. E la lezione del corso I sulle funzioni iperboliche ha anticipato l’analogia che questa unità completa: il seno e il coseno descrivono la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ come il seno e il coseno iperbolici descrivono l’iperbole $x^2 - y^2 = 1$ .

Resta, tuttavia, una domanda ancora aperta, che attraversa tutta l’unità: come si calcolano il seno e il coseno di una somma di angoli a partire da quelli di ciascun addendo? Le simmetrie la risolvono solo quando uno degli addendi è un multiplo di $\frac{\pi}{2}$ ; i valori in $\frac{\pi}{12}$ o in $\frac{\pi}{10}$ richiedono costruzioni geometriche speciali; e il prodotto di due numeri complessi in forma polare, annunciato nella lezione sulle coordinate polari, dipende da essa. L’unità che segue, che comincia con l’introduzione alla trigonometria analitica, risolve quella domanda con le formule di addizione e sottrazione, e con esse dimostra identità, risolve in generale le equazioni goniometriche e classifica le equazioni di secondo grado mediante la rotazione degli assi.