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Topos Uranos
Français

Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité

Résumé

Cette leçon résout dans les nombres complexes l’équation zn=wz^n = w. Avec la forme polaire et la formule de Moivre, elle démontre que tout complexe non nul a exactement nn racines nn-ièmes, qui ont le même module et des arguments séparés par 2πn\frac{2\pi}{n}, de sorte qu’elles forment un polygone régulier centré à l’origine. Elle étudie ensuite les racines de l’unité : ce sont les puissances d’une seule d’entre elles, elles se multiplient comme s’additionnent les restes de la division par nn, leurs puissances d’exposant mm ont pour somme nn ou 00 selon que nn divise mm ou non, et elles factorisent le polynôme zn−1z^n - 1. Elle caractérise par le plus grand commun diviseur les racines primitives, dont les puissances parcourent toutes les racines, et obtient, en groupant des racines conjuguées, la factorisation réelle de xn−1x^n - 1 et de xn+1x^n + 1 en facteurs du premier et du second degré, avec laquelle réapparaît la valeur de cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5}.

Objectifs d’apprentissage

  1. Trouver les nn racines nn-ièmes d’un complexe non nul avec la forme polaire, démontrer qu’il y en a exactement nn et les décrire comme les sommets d’un polygone régulier.
  2. Opérer sur les racines de l’unité comme puissances de l’une d’elles, calculer les sommes de leurs puissances et factoriser le polynôme zn−1z^n - 1.
  3. Décider quelles racines de l’unité sont primitives au moyen du plus grand commun diviseur, et démontrer le critère avec l’identité de Bézout.
  4. Factoriser sur les réels les polynômes xn−1x^n - 1 et xn+1x^n + 1 en groupant des racines conjuguées, et appliquer les racines de l’unité à des problèmes de distances, de valeurs trigonométriques et d’équations.

Les racines nn-ièmes d’un complexe

Dans la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les nombres complexes, on a résolu l’équation z3=1z^3 = 1 en factorisant une différence de deux cubes, et on a annoncé que les racines nn-ièmes d’un complexe quelconque exigeraient la forme polaire. La méthode de la factorisation ne se généralise pas : pour l’équation z5=1+iz^5 = 1 + i, aucun facteur n’est en vue. La forme polaire, étudiée dans la leçon sur la forme polaire des nombres complexes, transforme en revanche l’équation en deux conditions réelles, l’une sur les modules et l’autre sur les arguments, car, d’après la formule démontrée dans la leçon sur la formule de Moivre, élever un complexe à la puissance nn élève son module à la puissance nn et multiplie son argument par nn.

Soient ww un nombre complexe et nn un entier naturel. Un complexe zz est une racine nn-ième de ww lorsque zn=wz^n = w. Les racines deuxièmes s’appellent racines carrées, et les troisièmes, racines cubiques.

Le seul complexe dont la puissance nn-ième est 00 est 00 lui-même, car un produit de complexes ne s’annule que si l’un de ses facteurs s’annule ; le cas intéressant est donc w≠0w \neq 0. On écrit alors ww sous forme polaire, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), avec R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 et φ\varphi l’un quelconque de ses arguments. Le symbole Rn\sqrt[n]{R} garde le sens qu’il a dans la leçon du cours I sur les puissances à exposant rationnel et les radicaux : il désigne la racine principale du réel strictement positif RR, l’unique réel strictement positif dont la puissance nn-ième est RR. Le radical est réservé à la racine principale d’un réel positif ou nul et, comme dans cette leçon, à la racine réelle d’ordre impair d’un réel strictement négatif, comme −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2 ; appliqué à un autre complexe, il ne sera employé qu’avec l’avertissement exprès qu’il désigne l’une quelconque de ses racines, car, comme on le verra bientôt, aucune de ses nn racines ne se distingue des autres, et en choisir une par convention rompt les règles de calcul des radicaux : si l’on appelait racine carrée de −1-1 le nombre ii, le produit de cette racine par elle-même serait −1-1, et non la racine carrée de (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Enfin, on utilise le théorème d’égalité sous forme polaire, démontré dans cette même leçon : deux complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et si leurs arguments diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi.

ThéorèmeRacines nn-ièmes

Soient w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) un complexe non nul, avec R=∣w∣R = \abs{w}, et nn un entier naturel. L’équation zn=wz^n = w a exactement nn solutions distinctes, qui sont les complexes zkz_k ci-dessous, pour k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Toutes ont pour module Rn\sqrt[n]{R}, et l’argument de chacune dépasse celui de la racine qui la devance de 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

On cherche la solution sous forme polaire et on égale les formes polaires de znz^n et de ww. La figure accompagne la démonstration avec w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) et n=3n = 3, dont les racines cubiques ont pour module 22.

Démonstration

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Une solution ne peut pas être nulle, car 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. Nous l’écrivons sous forme polaire, avec r>0r > 0, et nous l’élevons à la puissance nn avec la formule de Moivre.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    D’après le théorème d’égalité sous forme polaire, l’équation zn=wz^n = w équivaut à deux conditions réelles : les modules sont égaux et les arguments diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Le réel strictement positif dont la puissance nn-ième est RR est unique, c’est la racine principale, et l’argument est déterminé par l’entier kk. Réciproquement, tout complexe ayant ce module et cet argument est solution, car il vérifie les deux conditions. Avec w=−8w = -8 et n=3n = 3, on obtient r=2r = 2 et θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Les entiers kk sont en nombre infini, mais pas les solutions. D’après la division euclidienne, tout entier s’écrit k=qn+jk = qn + j, avec qq entier et 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1 ; l’argument θk\theta_k dépasse alors θj\theta_j d’un multiple entier de 2π2\pi, et les deux solutions coïncident. Sur la figure, z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    Les solutions z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} sont distinctes deux à deux : si 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, leurs arguments diffèrent d’un nombre compris strictement entre 00 et 2π2\pi, qui n’est pas un multiple entier de 2π2\pi. Il y a donc exactement nn solutions. Avec w=−8w = -8, ce sont 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 et 1−i31 - i\sqrt{3}.

En pratique, la première racine a pour argument φn\frac{\varphi}{n}, et chacune des autres s’obtient en ajoutant 2πn\frac{2\pi}{n} à l’argument de celle qui la devance. Remplacer l’argument φ\varphi de ww par un autre, φ+2π\varphi + 2\pi, ne change pas l’ensemble des racines, seulement leur numérotation : ce qui était z1z_1 s’appelle désormais z0z_0. Pour n=2n = 2, les arguments des deux racines diffèrent de π\pi, de sorte qu’elles sont opposées, z1=−z0z_1 = -z_0 ; c’est le double signe qui apparaît dans la racine carrée d’un complexe, calculée dans la leçon du cours I sur les nombres complexes en identifiant parties réelles et imaginaires. Le nombre de racines concorde en outre avec ce que l’on sait des polynômes : d’après le lemme des racines distinctes de la leçon du cours I sur l’algèbre des polynômes, dont la démonstration vaut sans changement dans les complexes, le polynôme zn−wz^n - w, de degré nn, ne peut pas avoir plus de nn racines distinctes ; le théorème montre qu’il les a toutes.

Le polygone régulier des racines

Les nn racines ont le même module, de sorte qu’elles sont sur le cercle de centre 00 et de rayon Rn\sqrt[n]{R}, et leurs arguments sont régulièrement espacés. Le théorème qui suit exprime cette disposition au moyen du produit de complexes, qui sous forme polaire multiplie les modules et additionne les arguments, comme on l’a démontré dans la leçon sur la forme polaire.

ThéorèmeLe polygone des racines

Soient ww un complexe non nul, avec R=∣w∣R = \abs{w}, et n≥3n \geq 3 un entier naturel. Chaque racine nn-ième de ww s’obtient à partir de celle qui la devance en la multipliant par le nombre ω\omega ci-dessous, ce qui revient à la faire tourner d’un angle de 2πn\frac{2\pi}{n} autour de l’origine ; les nn racines sont les sommets d’un polygone régulier à nn côtés inscrit dans le cercle de centre 00 et de rayon Rn\sqrt[n]{R}, et son côté mesure 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

La figure accompagne la démonstration avec w=64iw = 64i, dont les racines cubiques, quatrièmes et sixièmes sont sur des cercles de rayons 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} et 646=2\sqrt[6]{64} = 2.

Démonstration

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Comme ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1, le produit zkωz_k \omega a le module de zkz_k et son argument augmenté de 2πn\frac{2\pi}{n} : c’est la racine qui vient ensuite. Par récurrence sur kk, chaque racine est la première multipliée par une puissance de ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Multiplier par ω\omega, c’est donc tourner d’un angle de 2πn\frac{2\pi}{n} autour de l’origine, et cette rotation conserve les distances, car le module d’un produit est le produit des modules.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    La rotation envoie chaque côté du polygone sur celui qui vient ensuite, de sorte que tous les côtés ont la même longueur.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    Le polygone se referme, car ωn=1\omega^n = 1 : la rotation envoie le dernier sommet sur le premier. Les nn sommets sont sur le cercle et les côtés sont égaux. De plus, la rotation envoie le triangle de sommets zkz_k, zk+1z_{k + 1} et zk+2z_{k + 2} sur celui de sommets zk+1z_{k + 1}, zk+2z_{k + 2} et zk+3z_{k + 3} en conservant les trois côtés, et d’après la loi des cosinus un angle d’un triangle est déterminé par ses trois côtés : les angles du polygone, qui sont ceux de ces triangles au sommet du milieu, sont égaux, et le polygone est régulier.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    Le côté se calcule dans le triangle de sommets 00, z0z_0 et z1z_1. D’après la formule de l’angle moitié, ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, et le sinus de πn\frac{\pi}{n} est strictement positif. Pour les racines sixièmes de 64i64i, le côté vaut 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, autant que le rayon, comme dans tout hexagone régulier.

Pour n=2n = 2, le polygone dégénère en un diamètre, dont les extrémités sont les deux racines opposées, et pour n=1n = 1 il y a une seule racine, ww lui-même. Que les racines forment un polygone régulier explique pourquoi aucune ne se distingue des autres : la rotation de 2πn\frac{2\pi}{n} les permute sans altérer la figure.